Incompressibilité des feuilles de germes de feuilletages holomorphes singuliers

Marín, David ; Mattei, Jean-François

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Tome 41 (2008), p. 855-903 / Harvested from Numdam

Résumé

Nous considérons un germe de feuilletage holomorphe singulier non-dicritique $\mathcal {F}$ défini sur une boule fermée $\overline{\mathbb {B}}\subset \mathbb {C}^{2}$, satisfaisant des hypothèses génériques, de courbe de séparatrice $S$. Nous démontrons l’existence d’un voisinage ouvert $U$ de $S$ dans $\overline{\mathbb {B}}$ tel que, pour toute feuille $L$ de $\mathcal {F}_{|(U\setminus S)}$, l’inclusion naturelle $\imath : L\hookrightarrow U\setminus S$ induit un monomorphisme $\imath _*:\pi _1( L)\hookrightarrow \pi _1(U\setminus S)$ au niveau du groupe fondamental. Pour cela, nous introduisons la notion géométrique de « connexité feuilletée » avec laquelle nous réinterprétons la notion d’incompressibilité. Nous montrons aussi l’existence de sections holomorphes transverses satisfaisant la propriété de connexité feuilletée  ; elles nous permettent d’introduire une notion de « représentation de monodromie globale » du feuilletage.

Abstract

We consider a non-dicritic germ of singular holomorphic foliation $\mathcal {F}$ defined in some closed ball ${\overline{\mathbb {B}}\subset \mathbb {C}^{2}}$ with separatrix set $S$, satisfying some additional but generic hypotheses. We prove that there exists an open subset $U\supset S$ of $\mathbb {B}$, such that for every leaf $L$ of $\mathcal {F}_{|(U\setminus S)}$ the natural inclusion $\imath : L\hookrightarrow U\setminus S$ induces a monomorphism $\imath _*:\pi _1( L)\hookrightarrow \pi _1(U\setminus S)$ at the fundamental group level. To do this, we introduce the geometrical notion of “foliated connexity” and we re-interpret the incompressibility using it. We also show the existence of some special transverse holomorphic sections, which allow us to introduce a “global monodromy representation” for the foliation.

Détail

Publié le : 2008-01-01

MR 2504107 | Zbl 1207.32028 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2083
Classification:  32M25,  32S55,  32S65,  34M20,  34M35,  34M45,  37F75,  57M05,  57M25,  57M27
Mots clés: Équations différentielles ordinaires, systèmes dynamiques, feuilletages holomorphes, champs de vecteurs, variétés de dimension trois, topologie de petite dimension, groupe fondamental, singularités, monodromie

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