Sur une application de l’analyse complexe aux trajectoires rugueuses

[Complex Analysis and Rough Paths]

Marie, Nicolas

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 21 (2014), p. 69-80 / Harvested from Numdam

Résumé

Working with a geometric rough path over a $\mathbb{R}^d$-valued function is more difficult for $d = 2$ than for $d = 1$, because the tensor product isn’t commutative for $d > 1$. In order to bypass that difficulty for $d = 2$, a notion of geometric rough paths for $\mathbb{C}$-valued functions, easier as for $d = 1$, is defined by replacing the tensor product by the usual (commutative) product on $\mathbb{C}$ in definitions. The link with the rough integral for $d = 2$ is studied, and an application of Cauchy’s theorem is provided.

Abstract

La manipulation d’une trajectoire géométrique au-dessus d’une fonction à valeurs dans $\mathbb{R}^d$ est moins aisée dans le cas $d = 2$ que dans le cas $d = 1$, notamment car le produit tensoriel n’est pas commutatif pour $d > 1$. Afin de contourner cette difficulté dans le cas $d = 2$, cette note introduit une notion de trajectoires géométriques pour les fonctions à valeurs complexes, aussi simple à manipuler que dans le cas $d = 1$, en remplaçant le produit tensoriel par le produit (commutatif) usuel sur $\mathbb{C}$ dans les définitions. Le lien avec l’intégrale des trajectoires rugueuses dans le cas $d = 2$ est étudié, et une application du théorème de Cauchy est proposée.

Détail

Publié le : 2014-01-01

MR 3322616

DOI : https://doi.org/10.5802/ambp.343
Mots clés: Rough paths, complex analysis, Cauchy’s theorem

Bibliographie

[1] Amar, E.; Matheron, E. Analyse complexe, Collection Enseignement des Mathématiques, Cassini (2004) | Zbl 1053.30001

[2] Friz, P.; Victoir, N. Multidimensional Stochastic Processes as Rough Paths : Theory and Applications, Cambridge Studies in Applied Mathematics 120, Cambridge University Press, Cambridge (2010) | MR 2604669 | Zbl 1193.60053

[3] Gubinelli, M. Controlling Rough Paths, J. Funct. Anal., Tome 216 (2004), pp. 86-140 | Article | MR 2091358 | Zbl 1058.60037

[4] Lyons, T.; Qian, Z. System Control and Rough Paths, Oxford University Press (2002) | MR 2036784 | Zbl 1029.93001

[5] Lyons, T.; Victoir, N. An Extension Theorem to Rough Paths, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Tome 24(5) (2007), pp. 835-847 | Article | Numdam | MR 2348055 | Zbl 1134.60047

[6] Tindel, S.; Unterberger, J. The Rough Path Associated to the Multidimensional Analytic FBM with any Hurst Parameter, Collect. Math., Tome 62(2) (2011), pp. 197-223 | Article | MR 2792522 | Zbl 1220.60022

[7] Unterberger, J. Hölder Continuous Rough Paths by Fourier Normal Ordering, Communications in Mathematical Physics, Tome 298(1) (2010), pp. 1-36 | Article | MR 2657813 | Zbl 1221.46047

[8] Werness, B. M. Regularity of Schramm-Loewner Evolutions, Annular Crossing, and Rough Paths Theory, Electronic Journal of Probability, Tome 17(81) (2012), pp. 1-21 | MR 2981906 | Zbl 1252.60084