On p 2 -Ranks in the Class Field Tower Problem
[p 2 -rangs et p-tours de Hilbert]
Maire, Christian ; McLeman, Cam
Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 21 (2014), p. 57-68 / Harvested from Numdam
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Les récents progrès sur le problème de la 2-tour de Hilbert des corps de nombres portent sur l’infinitude – en particulier pour les corps quadratiques – quand le groupe des classes a un grand 4-rang. Généralisant à tout nombre premier p, nous utilisons les inégalités de type Golod-Safarevic afin d’analyser la contribution du p 2 -rang du groupe des classes à l’étude de la p-tour de Hilbert. Nous apportons également des résultats partiels en direction de l’infinitude de le 2-tour de Hilbert des corps quadratiques réels lorsque que le 2-rang du groupe des classes vaut 5.

Much recent progress in the 2-class field tower problem revolves around demonstrating infinite such towers for fields – in particular, quadratic fields – whose class groups have large 4-ranks. Generalizing to all primes, we use Golod-Safarevic-type inequalities to analyse the source of the p 2 -rank of the class group as a quantity of relevance in the p-class field tower problem. We also make significant partial progress toward demonstrating that all real quadratic number fields whose class groups have a 2-rank of 5 must have an infinite 2-class field tower.

Publié le : 2014-01-01
DOI : https://doi.org/10.5802/ambp.342
Classification:  11R29,  11R34,  11R37
Mots clés: Tours de Hilbert des corps de nombres 
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     author = {Maire, Christian and McLeman, Cam},
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     journal = {Annales math\'ematiques Blaise Pascal},
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Maire, Christian; McLeman, Cam. On $p^2$-Ranks in the Class Field Tower Problem. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 21 (2014) pp. 57-68. doi : 10.5802/ambp.342. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AMBP_2014__21_2_57_0/

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[3] Maire, Christian Un raffinement du théorème de Golod-Safarevic, Nagoya Math. J., Tome 150 (1998), pp. 1-11 http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118766698 | MR 1633138 | Zbl 0923.11158

[4] Schoof, René Infinite class field towers of quadratic fields, J. Reine Angew. Math., Tome 372 (1986), pp. 209-220 | Article | MR 863524 | Zbl 0589.12011

[5] Stein, W. A. Sage Mathematics Software (Version 5.11), The Sage Development Team (Y2013) (http://www.sagemath.org)

[6] Venkov, B. B.; Koh, H. The p-tower of class fields for an imaginary quadratic field, Zap. Naučn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI), Tome 46 (1974), p. 5-13, 140 (Modules and representations) | MR 382235 | Zbl 0335.12022