On $1$-cocycles induced by a positive definite function on a locally compact abelian group

Franks, Jordan; Valette, Alain

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-cocycles induced by a positive definite function on a locally compact abelian group
[Sur les

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-cocycles induits par une fonction de type positif sur un groupe abélien localement compact]

Franks, Jordan ; Valette, Alain

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 21 (2014), p. 61-69 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soit $ϕ$ une fonction de type positif normalisée sur un groupe localement compact abélien $G$ , et $π_{ϕ}$ la représentation unitaire de $G$ obtenue par construction GNS. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour l’annulation de la 1-cohomologie $H^{1} (G, π_{ϕ})$ et de la 1-cohomologie réduite ${\bar{H}}^{1} (G, π_{ϕ})$ . Par exemple, ${\bar{H}}^{1} (G, π_{ϕ}) = 0$ si et seulement si ou bien $Hom (G, ℂ) = 0$ ou bien $μ_{ϕ} (1_{G}) = 0$ , où $1_{G}$ est le caractère trivial de $G$ et $μ_{ϕ}$ est la mesure de probabilité sur le dual de Pontryagin $\hat{G}$ associée à $ϕ$ par le théorème de Bochner. Cela simplifie un argument de Guichardet (Théorème 4 de [7]).

For $ϕ$ a normalized positive definite function on a locally compact abelian group $G$ , let $π_{ϕ}$ be the unitary representation associated to $ϕ$ by the GNS construction. We give necessary and sufficient conditions for the vanishing of 1-cohomology $H^{1} (G, π_{ϕ})$ and reduced 1-cohomology ${\bar{H}}^{1} (G, π_{ϕ})$ . For example, ${\bar{H}}^{1} (G, π_{ϕ}) = 0$ if and only if either $Hom (G, ℂ) = 0$ or $μ_{ϕ} (1_{G}) = 0$ , where $1_{G}$ is the trivial character of $G$ and $μ_{ϕ}$ is the probability measure on the Pontryagin dual $\hat{G}$ associated to $ϕ$ by Bochner’s Theorem. This streamlines an argument of Guichardet (see Theorem 4 in [7]).

Publié le : 2014-01-01

MR 3248221 | Zbl 1297.43007

DOI : https://doi.org/10.5802/ambp.335
Classification: 43A35

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     journal = {Annales math\'ematiques Blaise Pascal},
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Franks, Jordan; Valette, Alain. On $1$-cocycles induced by a positive definite function on a locally compact abelian group. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 21 (2014) pp. 61-69. doi : 10.5802/ambp.335. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AMBP_2014__21_1_61_0/

Bibliographie

[1] Bekka, Bachir; De La Harpe, Pierre; Valette, Alain Kazhdan’s property (T), Cambridge University Press (2008) | MR 2415834 | Zbl 1146.22009

[2] Bekka, Bachir; Valette, Alain Group cohomology, harmonic functions and the first $L^{2}$ -Betti number, Potential Analysis, Tome 6 (1997), pp. 313-326 | Article | MR 1452785 | Zbl 0882.22013

[3] Cornulier, Yves De; Tessera, Romain; Valette, Alain Isometric group actions on Banach space and representations vanishing at infinity, Transform. Groups, Tome 13 (2008), pp. 125-147 | Article | MR 2421319 | Zbl 1149.22006

[4] Dixmier, Jacques Les $C^{*}$ -alg $\overset{`}{e}$ bres et leurs repr $\overset{´}{e}$ sentations, Gauthier-Villars (1969) | Zbl 0174.18601

[5] Folland, Gerald A course in abstract harmonic analysis, CRC Press (1995) | MR 1397028 | Zbl 0857.43001

[6] Guichardet, Alain Sur la cohomologie des groupes topologiques, Bull. Sc. Math, Tome 95 (1971), pp. 161-176 | MR 307265 | Zbl 0218.57030

[7] Guichardet, Alain Sur la cohomologie des groupes topologiques II, Bull. Sc. Math., Tome 96 (1972), pp. 305-332 | MR 340464 | Zbl 0243.57024

[8] Guichardet, Alain Cohomologie des groupes topologiques et des alg $\overset{`}{e}$ bres de Lie, CEDIC (1980) | MR 644979 | Zbl 0464.22001

[9] Rudin, Walter Fourier analysis on groups, John Wiley and Sons (1962) | MR 152834 | Zbl 0698.43001

[10] Shalom, Yehuda Rigidity of commensurators and irreducible lattices, Invent. Math., Tome 141 (2000), pp. 1-54 | Article | MR 1767270 | Zbl 0978.22010