Sur la constante d’Eisenstein
Mechik, Rachid
Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 15 (2008), p. 87-108 / Harvested from Numdam
Access to full text
Full (PDF)
Full (DJVU)

On cherche à donner une méthode effective de calcul de la constante d’Eisenstein [3] d’une fonction algébrique. On commence en précisant les liens entre cette constante et les rayons de convergence p-adiques de la fonction pour les différents nombres premiers p. Puis on donne une démonstration entièrement effective du résultat bien connu liant fonctions algébriques et diagonales de fractions rationnelles. Enfin on explique comment en déduire une méthode de calcul générale. On illustre la méthode en l’appliquant aux fonctions (1-x) r . On termine en montrant que le calcul de la constante d’Eisenstein de la diagonale d’une fraction rationnelle se ramène à un nombre fini de problèmes d’optimisation linéaire.

We try to give an efficient method for calculating the Eisenstein constant [3] of an algebraic function. We begin by specifying the ties between this constant and the p-adic convergence radius of the function for different prime numbers p. Then we give an entirely efficient proof of the very known result joining algebraic functions and diagonal of rational fractions. Finally we explain how to deduct a general calculation method. We illustrate the method by applying it to the functions (1-x) r . We finish by showing that the calculation of the Eisenstein constant of the diagonal of a rational fraction amounts to a finite number of linear optimization problems.

Publié le : 2008-01-01
DOI : https://doi.org/10.5802/ambp.241
Classification:  11S05,  13J05
Mots clés: Diagonale de fraction rationnelle, constante d’Eisenstein 
@article{AMBP_2008__15_1_87_0,
     author = {Mechik, Rachid},
     title = {Sur la constante d'Eisenstein},
     journal = {Annales math\'ematiques Blaise Pascal},
     volume = {15},
     year = {2008},
     pages = {87-108},
     doi = {10.5802/ambp.241},
     zbl = {pre05312017},
     mrnumber = {2418015},
     language = {fr},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AMBP_2008__15_1_87_0}
}

Mechik, Rachid. Sur la constante d’Eisenstein. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 15 (2008) pp. 87-108. doi : 10.5802/ambp.241. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AMBP_2008__15_1_87_0/

[1] Christol, G. Limites uniformes p-adiques de fonctions algébriques (1977) (Thèse de Doctorat d’Etat, Univ. Paris 6)

[2] Denef, J.; Lipshitz, L. Agebraic Power Series and Diagonals, J. Number theory, Tome 26 (1987), pp. 46-67 | Article | MR 883533 | Zbl 0609.12020

[3] Dienes, P. The Taylor series. An introduction to the theory of functions of a complex variable., Dover Publications Inc., New York (1957) | MR 89895 | Zbl 0078.05901

[4] Dwork, B.M.; Van Der Poorten, A.J. The Eisenstein Constant, Duke Math. J., Tome 65 (1992), pp. 23-43 | Article | MR 1148984 | Zbl 0770.11051

[5] Dwork, B.M.; Van Der Poorten, A.J. Correction to “The Eisenstein Constant”, Duke Math. J., Tome 76 (1994), pp. 669-672 | Article | Zbl 0813.11064

[6] Dwork, B.M.; Robba, P. On Natural Radii of p-adique Convergence, Trans. Am. Math. Soc, Tome 256 (1979), pp. 199-213 | MR 546915 | Zbl 0426.12013

[7] Furstenberg, H. Algebraic functions over finite fields, J. of Algebra, Tome 7 (1967), pp. 271-277 | Article | MR 215820 | Zbl 0175.03903

[8] Mechik, R. Diagonales de fractions rationnelles (1991) (Thèse de Magister, U.S.T.H.B Alger)

[9] Schmidt, W.M. Eisenstein’s Theorem on Power Series Expansions of Algebraic Functions, Acta Arithmetica, Tome 56 (1990), pp. 161-179 | Zbl 0659.12003