Excursions of the integral of the brownian motion
Jacob, Emmanuel
Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 46 (2010), p. 869-887 / Harvested from Numdam
Access to full text
Full (PDF)
Full (DJVU)

L'intégrale du mouvement Brownien est parfois appelée processus de Langevin. Lachal a étudié plusieurs lois d'excursions qui lui sont associées. Nous suivons ici un point de vue différent, développé par Pitman, pour les processus stationnaires. Nous construisons d'abord un processus de Langevin stationnaire avant d'en déterminer explicitement la mesure d'excursion stationnaire. Ce travail permet alors de fournir une nouvelle description de la mesure d'excursion d'Itô du processus de Langevin réfléchi sur une barrière inélastique, introduit récemment par Bertoin.

The integrated brownian motion is sometimes known as the Langevin process. Lachal studied several excursion laws induced by the latter. Here we follow a different point of view developed by Pitman for general stationary processes. We first construct a stationary Langevin process and then determine explicitly its stationary excursion measure. This is then used to provide new descriptions of Itô's excursion measure of the Langevin process reflected at a completely inelastic boundary, which has been introduced recently by Bertoin.

Publié le : 2010-01-01
DOI : https://doi.org/10.1214/09-AIHP322
Classification:  60G10,  60J50,  60G18 
@article{AIHPB_2010__46_3_869_0,
     author = {Jacob, Emmanuel},
     title = {Excursions of the integral of the brownian motion},
     journal = {Annales de l'I.H.P. Probabilit\'es et statistiques},
     volume = {46},
     year = {2010},
     pages = {869-887},
     doi = {10.1214/09-AIHP322},
     mrnumber = {2682270},
     zbl = {1213.60130},
     language = {en},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIHPB_2010__46_3_869_0}
}

Jacob, Emmanuel. Excursions of the integral of the brownian motion. Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 46 (2010) pp. 869-887. doi : 10.1214/09-AIHP322. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIHPB_2010__46_3_869_0/

[1] J. Azéma. Théorie générale des processus et retournement du temps. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 6 (1973) 459-519. | Numdam | MR 365725 | Zbl 0303.60061

[2] J. Bertoin. Reflecting a Langevin process at an absorbing boundary. Ann. Probab. 35 (2007) 2021-2037. | MR 2353380 | Zbl 1132.60057

[3] J. Bertoin. A second order SDE for the Langevin process reflected at a completely inelastic boundary. J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 10 (2008) 625-639. | MR 2421156 | Zbl 1169.60009

[4] R. K. Getoor. Excursions of a Markov process. Ann. Probab. 7 (1979) 244-266. | MR 525052 | Zbl 0399.60069

[5] J. P. Gor'Kov. A formula for the solution of a certain boundary value problem for the stationary equation of Brownian motion. Dokl. Akad. Nauk SSSR 223 (1975) 525-528. | MR 386033 | Zbl 0324.35013

[6] A. Lachal. Sur le premier instant de passage de l'intégrale du mouvement brownien. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 27 (1991) 385-405. | Numdam | MR 1131839 | Zbl 0747.60075

[7] A. Lachal. Application de la théorie des excursions à l'intégrale du mouvement brownien. In Séminaire de Probabilités XXXVII 109-195. Lecture Notes in Math. 1832. Springer, Berlin, 2003. | MR 2053045 | Zbl 1045.60084

[8] M. Lefebvre. First-passage densities of a two-dimensional process. SIAM J. Appl. Math. 49 (1989) 1514-1523. | MR 1015076 | Zbl 0681.60084

[9] B. Maury. Direct simulation of aggregation phenomena. Commun. Math. Sci. 2 (2004) 1-11. | MR 2119870 | Zbl 1086.76072

[10] H. P. Mckean Jr. A winding problem for a resonator driven by a white noise. J. Math. Kyoto Univ. 2 (1963) 227-235. | MR 156389 | Zbl 0119.34701

[11] J. Pitman. Stationary excursions. In Séminaire de Probabilités, XXI 289-302. Lecture Notes in Math. 1247. Springer, Berlin, 1987. | Numdam | MR 941992 | Zbl 0619.60040