Rational approximation to real points on conics

[Approximation rationnelle de points réels sur les coniques]

Roy, Damien

Annales de l'Institut Fourier, Tome 63 (2013), p. 2331-2348 / Harvested from Numdam

Résumé

Un point $(\xi _1,\xi _2)$ à coordonnées dans un sous-corps de ${\mathbb{R}}$ de degré de transcendance un sur ${\mathbb{Q}}$, avec $1,\xi _1,\xi _2$ linéairement indépendants sur ${\mathbb{Q}}$, peut admettre un exposant d’approximation uniforme par les éléments de ${\mathbb{Q}}^2$ qui soit strictement plus grand que la borne inférieure $1/2$ que garantit le principe des tiroirs de Dirichlet. Ce fait inattendu est apparu, en lien avec des travaux de Davenport et Schmidt, pour les points de la parabole $\lbrace (\xi ,\xi ^2) \,;\, \xi \in {\mathbb{R}}\rbrace $. Le but de cet article est de montrer que ce phénomène s’étend à toutes les coniques réelles définies sur ${\mathbb{Q}}$ et que le plus grand exposant d’approximation atteint par les points de ces courbes, sujets à la condition d’indépendance linéaire mentionnée plus tôt, est toujours le même, indépendamment de la courbe, à savoir $1/\gamma \cong 0.618$ où $\gamma $ désigne le nombre d’or.

Abstract

A point $(\xi _1,\xi _2)$ with coordinates in a subfield of $\mathbb{R}$ of transcendence degree one over ${\mathbb{Q}}$, with $1,\xi _1,\xi _2$ linearly independent over ${\mathbb{Q}}$, may have a uniform exponent of approximation by elements of ${\mathbb{Q}}^2$ that is strictly larger than the lower bound $1/2$ given by Dirichlet’s box principle. This appeared as a surprise, in connection to work of Davenport and Schmidt, for points of the parabola $\lbrace (\xi ,\xi ^2) \,;\, \xi \in {\mathbb{R}}\rbrace $. The goal of this paper is to show that this phenomenon extends to all real conics defined over ${\mathbb{Q}}$, and that the largest exponent of approximation achieved by points of these curves satisfying the above condition of linear independence is always the same, independently of the curve, namely $1/\gamma \cong 0.618$ where $\gamma $ denotes the golden ratio.

Détail

Publié le : 2013-01-01

MR 3237450 | Zbl 06325436

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2832
Classification:  11J13,  14H50
Mots clés: courbes algébriques, coniques, points réels, approximation par des points rationnels, exposant d’approximation, approximation simultanée

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