Une condition suffisante pour l’irréductibilité d’une induite parabolique de ${\rm GL}(m,{\rm D})$

Badulescu, Ioan; Lapid, Erez; Mínguez, Alberto

Une condition suffisante pour l’irréductibilité d’une induite parabolique de

GL (m, D)

Badulescu, Ioan ; Lapid, Erez ; Mínguez, Alberto

Annales de l'Institut Fourier, Tome 63 (2013), p. 2239-2266 / Harvested from Numdam

Access to full text
Full (PDF)
Full (DJVU)

Résumé
Abstract

Dans la théorie des représentations de ${GL}_{n}$ (et ses formes intérieures) sur un corps local non-archimédien, nous disposons de deux classifications, dues à Zelevinsky et Langlands, construites à partir de certaines représentations segments $Z (Δ)$ et $L (Δ)$ . Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour l’irréductibilité de l’induite parabolique $Z (Δ) \times L (Δ^{'})$ des segments $Δ$ , $Δ^{'}$ . On en déduit des nouvelles conditions suffisantes pour l’irréductibilité d’une induite parabolique de représentations quelconques. Ce critère est particulièrement pratique pour les représentations dites en échelle.

In the representation theory of ${GL}_{n}$ (and its inner forms) over a non-archimedean local field there are two classification schemes due to Zelevinsky and Langlands in which the building blocks are certain segment representations $Z (Δ)$ and $L (Δ)$ . We give a necessary and sufficient criterion for the irreducibility of the parabolic induction $Z (Δ) \times L (Δ^{'})$ of segments $Δ$ , $Δ^{'}$ . As a consequence we obtain new sufficient conditions for irreducibility of parabolic induction of arbitrary representations. This is particularly useful for the so called ladder representations.

Publié le : 2013-01-01

MR 3237446 | Zbl 06325432

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2828
Classification: 22E50
Mots clés: représentation induite, irréductibilité, représentations en échelle

@article{AIF_2013__63_6_2239_0,
     author = {Badulescu, Ioan and Lapid, Erez and M\'\i nguez, Alberto},
     title = {Une condition suffisante pour l'irr\'eductibilit\'e d'une induite parabolique de ${\rm GL}(m,{\rm D})$},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     volume = {63},
     year = {2013},
     pages = {2239-2266},
     doi = {10.5802/aif.2828},
     zbl = {06325432},
     mrnumber = {3237446},
     language = {fr},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_2013__63_6_2239_0}
}

Badulescu, Ioan; Lapid, Erez; Mínguez, Alberto. Une condition suffisante pour l’irréductibilité d’une induite parabolique de ${\rm GL}(m,{\rm D})$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 63 (2013) pp. 2239-2266. doi : 10.5802/aif.2828. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_2013__63_6_2239_0/

Bibliographie

[1] Aubert, Anne-Marie Dualité dans le groupe de Grothendieck de la catégorie des représentations lisses de longueur finie d’un groupe réductif $p$ -adique, Trans. Amer. Math. Soc., Tome 347 (1995) no. 6, pp. 2179-2189 | MR 1285969 | Zbl 0827.22005

[2] Badulescu, Alexandre Ioan; Renard, David Zelevinsky involution and Moeglin-Waldspurger algorithm for ${GL}_{n} (D)$ , Functional analysis IX, Univ. Aarhus, Aarhus (Various Publ. Ser. (Aarhus)) Tome 48 (2007), pp. 9-15 | MR 2349436

[3] Badulescu, Alexandru Ioan On $p$ -adic Speh representations (à paraître au Bulletin de la SMF)

[4] Badulescu, Alexandru Ioan Un résultat d’irréductibilité en caractéristique non nulle, Tohoku Math. J. (2), Tome 56 (2004) no. 4, pp. 583-592 | Article | Zbl 1064.22003

[5] Badulescu, Alexandru Ioan Jacquet-Langlands et unitarisabilité, J. Inst. Math. Jussieu, Tome 6 (2007) no. 3, pp. 349-379 | Article | MR 2329758 | Zbl 1159.22005

[6] Badulescu, Alexandru Ioan Global Jacquet-Langlands correspondence, multiplicity one and classification of automorphic representations, Invent. Math., Tome 172(2) (2008), pp. 383-438 (With an appendix by N. Grbac) | Article | MR 2390289 | Zbl 1158.22018

[7] Badulescu, Alexandru Ioan; Henniart, Guy; Lemaire, Bertrand; Sécherre, Vincent Sur le dual unitaire de $GL (r, D)$ , Amer. J. Math., Tome 132 (2010), pp. 1365-1396 | Article | MR 2732351 | Zbl 1205.22011

[8] Bernstein, I. N.; Zelevinsky, A. V. Induced representations of reductive $p$ -adic groups. I, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Tome 10 (1977) no. 4, pp. 441-472 | Numdam | MR 579172 | Zbl 0412.22015

[9] Bernstein, Joseph N. $P$ -invariant distributions on $GL (N)$ and the classification of unitary representations of $GL (N)$ (non-Archimedean case), Lie group representations, II (College Park, Md., 1982/1983), Springer, Berlin (Lecture Notes in Math.) Tome 1041 (1984), pp. 50-102 | MR 748505 | Zbl 0541.22009

[10] Boyer, Pascal Monodromie du faisceau pervers des cycles évanescents de quelques variétés de Shimura simples, Invent. Math., Tome 177 (2009), pp. 239-280 | Article | MR 2511742 | Zbl 1172.14016

[11] Chenevier, Gaëtan; Renard, David Characters of Speh representations and Lewis Caroll identity, Represent. Theory, Tome 12 (2008), pp. 447-452 | Article | MR 2465802 | Zbl 1163.22008

[12] Deligne, P.; Kazhdan, D.; Vignéras, M.-F. Représentations des algèbres centrales simples $p$ -adiques, Representations of reductive groups over a local field, Hermann, Paris (Travaux en Cours) (1984), pp. 33-117 | MR 771672 | Zbl 0583.22009

[13] Lapid, Erez; Mínguez, Alberto On a determinantal formula of Tadić (à paraître à Amer. J. of Math.) | Zbl pre06282370

[14] Mínguez, Alberto Correspondance de Howe explicite : paires duales de type II, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), Tome 41 (2008) no. 5, pp. 717-741 | Numdam | MR 2504432 | Zbl 1220.22014

[15] Mínguez, Alberto Sur l’irréductibilité d’une induite parabolique, J. Reine Angew. Math., Tome 629 (2009), pp. 107-131 | MR 2527415 | Zbl 1172.22008

[16] Mínguez, Alberto; Sécherre, Vincent Représentations banales de $GL (m, D)$ (à paraître dans Compositio Math.)

[17] Mínguez, Alberto; Sécherre, Vincent Représentations lisses modulo $ℓ$ de $GL (m, D)$ (preprint, available at http://www.math.jussue.fr/~minguez) | Zbl pre06288362

[18] Mœglin, C.; Waldspurger, J.-L. Sur l’involution de Zelevinski, J. Reine Angew. Math., Tome 372 (1986), pp. 136-177 | MR 863522 | Zbl 0594.22008

[19] Mœglin, C.; Waldspurger, J.-L. Le spectre résiduel de $GL (n)$ , Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Tome 22 (1989) no. 4, pp. 605-674 | Numdam | MR 1026752 | Zbl 0696.10023

[20] Sécherre, Vincent Proof of the Tadić conjecture (U0) on the unitary dual of ${GL}_{m} (D)$ , J. Reine Angew. Math., Tome 626 (2009), pp. 187-203 | Article | MR 2492994 | Zbl 1170.22009

[21] Tadić, Marko Induced representations of $GL (n, A)$ for $p$ -adic division algebras $A$ , J. Reine Angew. Math., Tome 405 (1990), pp. 48-77 | MR 1040995 | Zbl 0684.22008

[22] Tadić, Marko On characters of irreducible unitary representations of general linear groups, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, Tome 65 (1995), pp. 341-363 | Article | MR 1359141 | Zbl 0856.22026

[23] Tadić, Marko Representation theory of $GL (n)$ over a $p$ -adic division algebra and unitarity in the Jacquet-Langlands correspondence, Pacific J. Math., Tome 223 (2006) no. 1, pp. 167-200 | Article | MR 2221023 | Zbl 1124.22005

[24] Zelevinsky, A. V. Induced representations of reductive $p$ -adic groups. II. On irreducible representations of $GL (n)$ , Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Tome 13 (1980) no. 2, pp. 165-210 | Numdam | MR 584084 | Zbl 0441.22014