Dans cet article on démontre une conjecture de N. Kuhn : si la cohomologie singulière modulo un nombre premier d’un espace est finiment engendrée comme module sur l’algèbre de Steenrod, alors elle est finie. On donne aussi des formes plus fortes de ce résultat. Le second auteur en avait déjà donné une démonstration dans un article précédent. Cependant dans le cas d’un nombre premier impair la preuve comportait une lacune sans hypothèse supplémentaire sur la cohomologie de l’espace, du type de la nullité de l’homomorphisme de Bockstein. De même la démonstration reposait, d’abord sur une idée de N. Kuhn, puis sur une utilisation de la suite spectrale d’Eilenberg-Moore. La nouvelle démonstration repose elle sur une extension de la stratégie de N. Kuhn qui est fondée sur un théorème de J. Lannes et uniquement le théorème de Bott-Samelson. Elle fonctionne de manière identique pour tout nombre premier .
In this paper we prove a conjecture of N. Kuhn: if the singular cohomology modulo a prime number of a space is finitely generated as a module over the Steenrod algebra, then it is finite. The second author had already given proof of this result in a previous article. However in the case of an odd prime the proof contained a gap without additional assumption on the cohomology of the space, like the triviality of the Bockstein homomorphism. The first proof depends, first on an idea by N. Kuhn, then on the Eilenberg-Moore spectral sequence. The new proof is based on an extension of the strategy of N. Kuhn is based on a theorem of J. Lannes and only on the Bott-Samelson theorem. It works the same way for all primes .
@article{AIF_2013__63_2_763_0,
author = {Gaudens, G\'erald and Schwartz, Lionel},
title = {Applications depuis $K(\mathbb{Z}/p,2)$ et~une~conjecture de N. Kuhn},
journal = {Annales de l'Institut Fourier},
volume = {63},
year = {2013},
pages = {763-772},
doi = {10.5802/aif.2776},
zbl = {06193047},
mrnumber = {3112848},
language = {fr},
url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_2013__63_2_763_0}
}
Gaudens, Gérald; Schwartz, Lionel. Applications depuis $K(\mathbb{Z}/p,2)$ et une conjecture de N. Kuhn. Annales de l'Institut Fourier, Tome 63 (2013) pp. 763-772. doi : 10.5802/aif.2776. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_2013__63_2_763_0/
[1] Deconstructing Hopf spaces, Invent. Math., Tome 167 (2007) no. 1, pp. 1-18 | Article | MR 2264802 | Zbl 1109.55005
[2] Espaces profinis et problèmes de réalisabilité, AGT, Tome 3 (2003), pp. 399-433 | MR 1997324 | Zbl 1022.55012
[3] On topologically realizing modules over the Steenrod algebra, Ann. of Math., Tome 141 (1995), pp. 321-347 | Article | MR 1324137 | Zbl 0849.55022
[4] Topological non-realization results via the Goodwillie tower approach to iterated loopspace homology, AGT, Tome 8 (2008), pp. 2109-2129 | MR 2460881 | Zbl 1169.55011
[5] Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d’un -groupe abélien élémentaire., Pub. I.H.E.S., Tome 75 (1992), pp. 135-244 | Article | Numdam | MR 1179079 | Zbl 0857.55011
[6] Sur la structure de -modules instables injectifs, Topology, Tome 28 (1989), pp. 153-169 | Article | MR 1003580 | Zbl 0683.55016
[7] The Sullivan conjecture on maps from classifying spaces, Ann. of Math. (2), Tome 120 (1984) no. 1, pp. 39-87 | Article | MR 750716 | Zbl 0552.55014
[8] Ensembles profinis simpliciaux et interprétation géométrique du foncteur , Bull. Soc. Math. France, Tome 124 (1996) no. 2, pp. 347-373 | Numdam | MR 1414543 | Zbl 0868.55015
[9] Unstable modules over the Steenrod algebra and Sullivan’s fixed point set conjecture, University of Chicago Press, Chicago Lectures in Mathematics (1994) | MR 1282727 | Zbl 0871.55001
[10] A propos de la conjecture de non-réalisation due à N. Kuhn, Invent. Math., Tome 134 (1998), pp. 211-227 | Article | MR 1646599 | Zbl 0919.55007
[11] La filtration de Krull de la catégorie et la cohomologie des espaces, AGT, Tome 1 (2001), pp. 519-548 | MR 1875606 | Zbl 1007.55014
[12] Erratum à A propos de la conjecture de non-réalisation due à N. Kuhn, Invent. Math., Tome 182 (2010), p. 449-450 | Article | MR 2729273 | Zbl 0919.55007
[13] Elements of homotopy theory, Springer Verlag, GTM, Tome 6 (1978) | MR 516508 | Zbl 0406.55001