Realizable Galois module classes over the group ring for non abelian extensions

[Classes galoisiennes réalisables sur l’anneau de groupe d’extensions non abéliennes]

Byott, Nigel P. ; Sodaïgui, Bouchaïb

Annales de l'Institut Fourier, Tome 63 (2013), p. 303-371 / Harvested from Numdam

Résumé

Étant donné un corps de nombres $k$ et un groupe fini $\Gamma $, on note $\mathcal{R}(O_k[\Gamma ])$ le sous-ensemble du groupe de classes localement libre $\mathrm{Cl}(O_k[\Gamma ])$ formé par les classes d’anneaux d’entiers $O_N$ d’extensions galoisiennes modérées $N/k$ avec $\mathrm{Gal}(N/k) \cong \Gamma $. Nous déterminons $\mathcal{R}(O_k[\Gamma ])$, et montrons que c’est un sous-groupe de $\mathrm{Cl}(O_k[\Gamma ])$, au moyen d’une description utilisant un idéal de Stickelberger et des propriétés de certains codes cycliques, lorsque $k$ contient une racine de l’unité d’ordre premier $p$ et $\Gamma =V \rtimes C$, où $V$ est un groupe élémentaire abélien d’ordre $p^r$ et $C$ est un groupe cyclique d’ordre $m>1$ agissant fidèlement sur $V$ et rendant $V$ un $\mathbb{F}_p[C]$-module irréductible. Ceci généralise et raffine des résultats de Byott, Greither et Sodaïgui pour $p=2$ dans Crelle, respectivement de Bruche et Sodaïgui pour $p>2$ dans J. Number Theory, lesquels couvrent seulement le cas $m=p^r-1$ et déterminent seulement l’image $\mathcal{R}(\mathcal{M})$ de $\mathcal{R}(O_k[\Gamma ])$ sous l’extension des scalaires de $O_k[\Gamma ]$ à un ordre maximal $\mathcal{M} \supset O_k[\Gamma ]$ dans $k[\Gamma ]$. Le résultat principal ici généralise donc le calcul de $\mathcal{R}(O_k[A_4])$ pour le groupe alterné $A_4$ de degré 4 (le cas $p=r=2$) donné par Byott et Sodaïgui dans Compositio.

Abstract

Given an algebraic number field $k$ and a finite group $\Gamma $, we write $\mathcal{R}(O_k[\Gamma ])$ for the subset of the locally free classgroup $\mathrm{Cl}(O_k[\Gamma ])$ consisting of the classes of rings of integers $O_N$ in tame Galois extensions $N/k$ with $\mathrm{Gal}(N/k) \cong \Gamma $. We determine $\mathcal{R}(O_k[\Gamma ])$, and show it is a subgroup of $\mathrm{Cl}(O_k[\Gamma ])$ by means of a description using a Stickelberger ideal and properties of some cyclic codes, when $k$ contains a root of unity of prime order $p$ and $\Gamma =V \rtimes C$, where $V$ is an elementary abelian group of order $p^r$ and $C$ is a cyclic group of order $m>1$ acting faithfully on $V$ and making $V$ into an irreducible $\mathbb{F}_p[C]$-module. This extends and refines results of Byott, Greither and Sodaïgui for $p=2$ in Crelle, respectively of Bruche and Sodaïgui for $p>2$ in J. Number Theory, which cover only the case $m=p^r-1$ and determine only the image $\mathcal{R}(\mathcal{M})$ of $\mathcal{R}(O_k[\Gamma ])$ under extension of scalars from $O_k[\Gamma ]$ to a maximal order $\mathcal{M} \supset O_k[\Gamma ]$ in $k[\Gamma ]$. The main result here thus generalizes the calculation of $\mathcal{R}(O_k[A_4])$ for the alternating group $A_4$ of degree 4 (the case $p=r=2$) given by Byott and Sodaïgui in Compositio.

Détail

Publié le : 2013-01-01

MR 3097949 | Zbl 06177083

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2762
Classification:  11R33
Mots clés: Structure de module galoisien ; anneaux d’entiers algébriques ; groupe de classes localement libre ; résolvantes de Fröhlich-Lagrange ; classes réalisables ; problème de plongement ; idéal de Stickelberger ; codes cycliques.

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