Equations of some wonderful compactifications

[Équations de certaines compactifications magnifiques]

Hivert, Pascal

Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011), p. 2121-2138 / Harvested from Numdam

Résumé

De Concini et Procesi ont défini la compactification magnifique minimale d’un espace symétrique $X=G/H$ où $G$ est un groupe complexe semi-simple adjoint et $H$ le sous-groupe des points fixes par une involution $\sigma $. C’est une sous-variété fermée d’une Grassmannienne des sous-espaces vectoriels de l’algèbre de Lie de $G$. Dans cet article, nous démontrons que, lorsque le rang de $X$ est égal au rang de $G$, la variété est définie par des équations linéaires. Ces équations traduisent l’annulation de l’espace propre de $\sigma $ de valeur propre $-1$ par la forme trilinéaire alternée invariante sur l’algèbre de Lie de $G$. L’article finit par des exemples lorsque le rang de $G$ est deux.

Abstract

De Concini and Procesi have defined the wonderful compactification $\bar{X}$ of a symmetric space $X=G/G^\sigma $ where $G$ is a complex semisimple adjoint group and $G^\sigma $ the subgroup of fixed points of $G$ by an involution $\sigma $. It is a closed subvariety of a Grassmannian of the Lie algebra $\mathfrak{g}$ of $G$. In this paper we prove that, when the rank of $X$ is equal to the rank of $G$, the variety is defined by linear equations. The set of equations expresses the fact that the invariant alternate trilinear form $w$ on $\mathfrak{g}$ vanishes on the $(-1)$-eigenspace of $\sigma $.

Détail

Publié le : 2011-01-01

MR 2961850 | Zbl pre06032136

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2668
Classification:  14L30,  20G05
Mots clés: compactification magnifique, espace symétrique, algèbre de Lie, groupe adjoint, schéma

Bibliographie

[1] Bourbaki, Nicolas Groupes et algèbres de Lie. Chapitres 7–8, Masson, Paris, Eléments de Mathématiques (1990) | Zbl 0483.22001

[2] De Concini, C.; Procesi, C. Complete symmetric varieties, Invariant theory (Montecatini, 1982), Springer, Berlin (Lecture Notes in Math.) Tome 996 (1983), pp. 1-44 | Zbl 0581.14041

[3] Draisma, Jan; Kraft, Hanspeter; Kuttler, Jochen Nilpotent subspaces of maximal dimension in semi-simple Lie algebras, Compos. Math., Tome 142 (2006) no. 2, pp. 464-476 | Article | MR 2218906 | Zbl 1163.17011

[4] Fulton, William; Harris, Joe Representation theory, Springer-Verlag, New York, Graduate Texts in Mathematics, Tome 129 (1991) (A first course, Readings in Mathematics) | MR 1153249 | Zbl 0744.22001

[5] Garfinkle, D. A new construction of the Joseph ideal, M.I.T. Cambridge (1982) (Ph. D. Thesis)

[6] Thaddeus, Michael Complete collineations revisited, Math. Ann., Tome 315 (1999) no. 3, pp. 469-495 | Article | MR 1725990 | Zbl 0986.14030

[7] Van Leeuwen, M. A. A.; Cohen, A. M.; Lisser, B. LiE, A Package for Lie Group Computations (1992) (http://www-math.univ-poitiers.fr/~maavl/LiE/)

[8] Vinberg, È. B.; Gorbatsevich, V. V.; Onishchik, A. L. Structure of Lie groups and Lie algebras, Current problems in mathematics. Fundamental directions, Vol. 41 (Russian), Akad. Nauk SSSR Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Inform., Moscow (Itogi Nauki i Tekhniki) (1990), pp. 5-259 | MR 1056486 | Zbl 0733.22003

[9] Weyman, Jerzy Cohomology of vector bundles and syzygies, Cambridge University Press, Cambridge, Cambridge Tracts in Mathematics, Tome 149 (2003) | MR 1988690 | Zbl 1075.13007