Sur le Topos infinitésimal p-adique d’un schéma lisse I
Arabia, Alberto ; Mebkhout, Zoghman
Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010), p. 1905-2094 / Harvested from Numdam

Afin de disposer des opérations cohomologiques aussi souples que possible pour la cohomologie de de Rham p-adique, le but principal de ce mémoire est de résoudre intrinsèquement du point de vue cohomologique le problème des relèvements des schémas lisses et de leurs morphismes de la caractéristique p>0 à la caractéristique nulle ce qui a été l’une des difficultés centrales de la théorie de la cohomologie de de Rham des schémas algébriques en caractéristique positive depuis le début. Nous montrons que, bien que les schémas lisses et leurs morphismes ne se relèvent pas en général du point de vue géométrique, tout se passe comme si c’était bien le cas du point de vue cohomologique, ce qui est conforme à la Théorie des Motifs de Grothendieck. On en déduit la factorisation p-adique de la fonction Zêta d’une variété algébrique lisse sur un corps fini, éventuellement ouverte, qui est le résultat test de nos méthodes.

Soit V un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques (p,0) de corps résiduel k et de corps de fractions K. On définit la cohomologie de de Rham p-adique d’un schéma lisse sur k, à coefficients qui sont des espaces vectoriels sur K et on définit les opérations cohomologiques pour un morphisme de schémas lisses sur k. On montre que l’on obtient en particulier un foncteur contravariant entre la catégorie de tous les schémas lisses et séparés sur k et la catégorie dérivée de la catégorie des espaces vectoriels sur K. On montre la suite exacte de Gysin pour tout couple de schémas lisses, ce qui permet en particulier de définir la classe de cohomologie d’un cycle dans le cas d’un corps de base parfait. On montre le lemme de Poincaré-Künneth sur une base lisse.

In order to have cohomological operations for de Rham p-adic cohomology as manageable as possible, the main purpose of this paper is to solve intrinsically and from a cohomological point of view the lifting problem of smooth schemes and their morphisms from characteristic p>0 to characteristic zero which has been one of the fundamental difficulties in the theory of de Rham cohomology of algebraic schemes in positive characteristic since the beginning. We show that although smooth schemes and morphisms fail to lift geometrically, it is as if this was the case within the cohomological point of view, which is consistent with the theory of Grothendieck Motives. We deduce the p-adic factorization of the Zeta function of a smooth algebraic variety, possibly open, over a finite field, which is a key testing result of our methods.

Let V be a complete discrete valuation ring of unequal characteristics (p,0) with residue field k and fraction field K. We define the de Rham cohomology of a smooth scheme over k with coefficients which are vector spaces over K, and we define cohomological operations for morphisms of smooth schemes over k. We show that we obtain in particular a contravariant functor between the category of all separated smooth schemes over k and the derived category of the category of vector spaces over K. We give the Gysin exact sequence for every pair of smooth schemes, allowing in particular to define the cohomology class of a cycle in the case of a perfect base field. We prove the Poincaré-Künneth lemma for smooth base.

Publié le : 2010-01-01
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2576
Classification:  11E95,  12H25,  13Dxx,  13Fxx,  13Jxx,  13N10,  14Axx,  14Fxx,  16Exx,  18Fxx,  18Gxx
Mots clés: algèbres dag-adiques, cohomologie de de Rham p-adique, complexe de de Rham p-adique, équations différentielles p-adiques, factorisation p-adique de la fonction Zéta, fonctorialité, groupe des automorphismes, module de transfert, module spécial, opérateurs différentiels p-adiques, opérations cohomologiques, relèvements plats, schémas dag-adiques, site infinitésimal, suite de Gysin, topos infinitésimal
@article{AIF_2010__60_6_1905_0,
     author = {Arabia, Alberto and Mebkhout, Zoghman},
     title = {Sur le Topos infinit\'esimal $p$-adique d'un sch\'ema lisse I},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     volume = {60},
     year = {2010},
     pages = {1905-2094},
     doi = {10.5802/aif.2576},
     zbl = {1220.14017},
     mrnumber = {2791650},
     language = {fr},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_2010__60_6_1905_0}
}
Arabia, Alberto; Mebkhout, Zoghman. Sur le Topos infinitésimal $p$-adique d’un schéma lisse I. Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010) pp. 1905-2094. doi : 10.5802/aif.2576. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_2010__60_6_1905_0/

[1] Arabia, A. Relèvements des algèbres lisses et de leurs morphismes, Comment. Math. Helv., Tome 76 (2001) no. 4, pp. 607-639 | Article | MR 1881700 | Zbl 1063.13009

[2] Arabia, A.; Mebkhout, Z. Sur le Topos infinitésimal p -adique d’un schéma lisse II (À paraître)

[3] Berthelot, P. Cohomologie p-cristalline des schémas : relèvement de la caractéristique p à la caractéristique 0, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, Tome 269 (1969), p. A297-A300 | MR 246882 | Zbl 0179.26202

[4] Berthelot, P. Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p > 0 , Springer-Verlag, Berlin, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 407 (1974) | MR 384804 | Zbl 0298.14012

[5] Berthelot, P. Géométrie rigide et cohomologie des variétés algébriques de caractéristique p, Mém. Soc. Math. France (N.S.) (1986) no. 23, pp. 7-32 (Introductions aux cohomologies p-adiques (Luminy, 1984)) | Numdam | MR 865810 | Zbl 0606.14017

[6] Berthelot, P.; Ogus, A. F-isocrystals and de Rham cohomology. I, Invent. Math., Tome 72 (1983) no. 2, pp. 159-199 | Article | MR 700767 | Zbl 0516.14017

[7] Bourbaki, N. Éléments de mathématique. Fascicule XXVIII. Algèbre commutative. Chapitre 3 : Graduations, filtrations et topologies. Chapitre 4 : Idéaux premiers associés et décomposition primaire, Hermann, Paris, Actualités Scientifiques et Industrielles, No. 1293 (1961)

[8] Christol, G.; Mebkhout, Z. Sur le théorème de l’indice des équations différentielles p-adiques. I, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Tome 43 (1993) no. 5, pp. 1545-1574 | Article | Numdam | MR 1275209 | Zbl 0834.12005

[9] Christol, G.; Mebkhout, Z. Sur le théorème de l’indice des équations différentielles p-adiques. II, Ann. of Math. (2), Tome 146 (1997) no. 2, pp. 345-410 | Article | MR 1477761 | Zbl 0929.12003

[10] Christol, G.; Mebkhout, Z. Sur le théorème de l’indice des équations différentielles p-adiques. III, Ann. of Math. (2), Tome 151 (2000) no. 2, pp. 385-457 | Article | MR 1765703 | Zbl 1078.12500

[11] Christol, G.; Mebkhout, Z. Sur le théorème de l’indice des équations différentielles p-adiques. IV, Invent. Math., Tome 143 (2001) no. 3, pp. 629-672 | Article | MR 1817646 | Zbl 1078.12501

[12] Dwork, B. On the rationality of the zeta function of an algebraic variety, Amer. J. Math., Tome 82 (1960), pp. 631-648 | Article | MR 140494 | Zbl 0173.48501

[13] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique. III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents. I, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1961) no. 11, pp. 167 | Numdam | MR 217085

[14] Grothendieck, A. Cristaux (1966) (Lettre à John Tate, 31 pages)

[15] Grothendieck, A. On the de Rham cohomology of algebraic varieties, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1966) no. 29, pp. 95-103 | Article | Numdam | MR 199194 | Zbl 0145.17602

[16] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas IV, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1967) no. 32, pp. 361 | Numdam | MR 238860

[17] Grothendieck, A. Crystals and the de Rham cohomology of schemes, Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, North-Holland, Amsterdam (1968), pp. 306-358 | MR 269663 | Zbl 0215.37102

[18] Grothendieck, A. Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L, Séminaire Bourbaki, Vol. 9, Soc. Math. France, Paris (1995), p. 41-55, Exp. No. 279 (exposé public décembre 1964) | Numdam | MR 1608788 | Zbl 0199.24802

[19] Grothendieck, A.; Dieudonné, J. Éléments de géométrie algébrique. I. Le langage des schémas, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1960) no. 4, pp. 228 | Numdam | MR 217083

[20] Mebkhout, Z. Le théorème du symbole total d’un opérateur différentiel p -adique d’échelon h 0 (Revista Matemática Iberoamericana (à paraître))

[21] Mebkhout, Z. Théorème de dualité pour les 𝒟 X -modules cohérents, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, Tome 285 (1977) no. 12, p. A785-A787 | MR 457771 | Zbl 0409.32006

[22] Mebkhout, Z. Sur le théorème de finitude de la cohomologie p-adique d’une variété affine non singulière, Amer. J. Math., Tome 119 (1997) no. 5, pp. 1027-1081 | Article | MR 1473068 | Zbl 0926.14007

[23] Mebkhout, Z.; Narváez-Macarro, L. Sur les coefficients de de Rham-Grothendieck des variétés algébriques, p -adic analysis (Trento, 1989), Springer, Berlin (Lecture Notes in Math.) Tome 1454 (1990), pp. 267-308 | MR 1094858 | Zbl 0727.14011

[24] Mebkhout, Z.; Narváez-Macarro, L. La théorie du polynôme de Bernstein-Sato pour les algèbres de Tate et de Dwork-Monsky-Washnitzer, Ann. Sci. École norm. sup. (4), Tome 24 (1991) no. 2, pp. 227-256 | Numdam | MR 1097693 | Zbl 0765.14009

[25] Mebkhout, Z.; Narváez-Macarro, L. Le théorème du symbole total d’un opérateur différentiel p-adique, Revista Matemática Iberoamericana, Tome 26 (2010) no. 3, pp. 825-859

[26] Meredith, D. Weak formal schemes, Nagoya Math. J., Tome 45 (1972), pp. 1-38 | MR 330167 | Zbl 0207.51502

[27] Monsky, P. Formal cohomology. II. The cohomology sequence of a pair, Ann. of Math. (2), Tome 88 (1968), pp. 218-238 | Article | MR 244272 | Zbl 0162.52601

[28] Monsky, P. Formal cohomology. III. Fixed point theorems, Ann. of Math. (2), Tome 93 (1971), pp. 315-343 | Article | MR 321931 | Zbl 0213.47501

[29] Monsky, P. One dimensional formal cohomology, Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 1, Gauthier-Villars, Paris (1971), pp. 451-456 | MR 422279 | Zbl 0222.14014

[30] Monsky, P.; Washnitzer, G. The construction of formal cohomology sheaves, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., Tome 52 (1964), pp. 1511-1514 | Article | MR 171787 | Zbl 0134.16403

[31] Monsky, P.; Washnitzer, G. Formal cohomology. I, Ann. of Math. (2), Tome 88 (1968), pp. 181-217 | Article | MR 248141 | Zbl 0162.52504

[32] Verdier, J.-L. Des catégories dérivées des catégories abéliennes, Astérisque (1996) no. 239, pp. xii+253 pp. (1997) (Thèse soutenue le 14 juin 1967) | MR 1453167