Group Schemes over artinian rings and Applications

[Schémas en groupes sur les anneaux artiniens et applications]

Berbec, Ioan

Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009), p. 2371-2427 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $n$ un entier positif et $A^{\prime}$ un anneau de valuation discrète complet de caractéristique zéro avec idéal maximal $\mathfrak{m}$, indice de ramification absolu $e<p-1$ et corps résiduel parfait $k$ de caractéristique $p>2$. Dans cet article nous classifions les groupes formels lisses $ p$-fidèles de dimension finie sur $A_{n}^{\prime}=A^{\prime}/\mathfrak{m}^{n}A^{\prime}$, i.e. les groupes sur lesquels le morphisme “multiplication par $p$ ” est fidèlement plat, en particulier les groupes $ p$-divisibles. Comme application, nous prouvons que les groupes $p$-divisibles sur $k$, et les morphismes entre eux, se relèvent canoniquement à $A^{\prime}/pA^{\prime}$, et nous étudions les relèvements en caractéristique zéro de certains groupes $p$-divisibles connexes de dimension $d$ et hauteur $ h $ sur $ k=\overline{k} $, ou $ d $ et $ h $ sont étrangers. Quand $ e=1 $, nous classifions les schémas en groupes finis et plats sur $ A^{\prime}/p^{2}A^{\prime} $ d’ordre une puissance de $ p $ et nous prouvons que tous les schémas en groupes finis et plats sur $ A^{\prime}/p^{n}A^{\prime} $ d’ordre une puissance de $ p $, avec $ p^i $-torsion plate pour chaque $ i \ge 1 $, se relèvent à $ A^{\prime} $.

Abstract

Let $ n $ be a positive integer and $ A^{\prime} $ a complete characteristic zero discrete valuation ring with maximal ideal $ \mathfrak{m} $, absolute ramification index $ e<p-1 $ and perfect residue field $ k $ of characteristic $ p>2 $. In this paper we classify smooth finite dimensional formal $ p $-faithful groups over $ A_{n}^{\prime}=A^{\prime}/\mathfrak{m}^{n}A^{\prime} $, i.e. groups on which the “multiplication by $ p $” morphism is faithfully flat, in particular $ p $-divisible groups. As applications, we prove that $ p $-divisible groups over $ k $, and the morphisms between them, lift canonically to $ A^{\prime}/pA^{\prime} $, and we study liftings to characteristic zero of certain connected $ p $-divisible groups of dimension $ d $ and height $ h $ over $ k=\overline{k} $, with $ d $ and $ h $ coprime. When $e=1$, we classify finite flat group schemes over $ A^{\prime}/p^{2}A^{\prime} $ of $ p $-power order and prove that a finite flat group scheme over $ A^{\prime}/p^{n}A^{\prime} $ of $ p $-power order, having flat $p^i$-torsion for every $i\ge 1$, lifts to $A^{\prime}$.

Détail

Publié le : 2009-01-01

MR 2640924 | Zbl 1189.14052

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2494
Classification:  14L15,  14L05
Mots clés: schéma en groupe, groupe $p$-divisible, relèvement presque canonique

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