Inverse spectral results on even dimensional tori

[Résultats spectraux inverses sur les tores de dimension paire]

Gordon, Carolyn S. ; Guerini, Pierre ; Kappeler, Thomas ; Webb, David L.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008), p. 2445-2501 / Harvested from Numdam

Résumé

À un fibré en droites hermitien sur un tore plat $M$, une connexion $\nabla $ sur $L$ et une fonction $Q$ sur $M$, on associe un opérateur de Schrödinger agissant sur les sections de $L$ ; on note $Spec(Q; L,\nabla )$ son spectre. À la suite du travail de V. Guillemin en dimension deux, on considère des fibrés en droites complexes au dessus de tores de dimension paire quelconque ainsi qu’une connexion «  invariante par translation  » fixée et on se demande dans quelle mesure $Spec(Q; L,\nabla )$ détermine le potentiel $Q$. Sous une condition générique, on montre que le spectre détermine la partie paire du potentiel, à condition que la connexion soit invariante par l’isométrie du tore définie par l’application $x\mapsto -x$. En dimension deux, on obtient également des informations sur sa partie impaire. On obtient des contre-exemples qui montrent que la condition générique utilisée est nécessaire même dans le cas des tores de dimension deux. Ces exemples montrent aussi que le spectre du laplacien défini par une connexion sur un fibré en droites sur un tore plat ne détermine ni la classe d’isométrie du tore ni la classe de Chern du fibré.

En dimension quelconque, on montre que la collection de tous les spectres $Spec(Q; L,\nabla )$, lorsque $\nabla $ parcourt l’ensemble des connexions invariantes, détermine le potentiel de manière unique. Cette collection de spectres est une généralisation naturelle aux fibrés en droites du spectre classique de Bloch sur le tore.

Abstract

Given a Hermitian line bundle $L$ over a flat torus $M$, a connection $\nabla $ on $L$, and a function $Q$ on $M$, one associates a Schrödinger operator acting on sections of $L$; its spectrum is denoted $Spec(Q; L,\nabla )$. Motivated by work of V. Guillemin in dimension two, we consider line bundles over tori of arbitrary even dimension with “translation invariant” connections $\nabla $, and we address the extent to which the spectrum $Spec(Q;L,\nabla )$ determines the potential $Q$. With a genericity condition, we show that if the connection is invariant under the isometry of $M$ defined by the map $x\rightarrow -x$, then the spectrum determines the even part of the potential. In dimension two, we also obtain information about the odd part of the potential. We obtain counterexamples showing that the genericity condition is needed even in the case of two-dimensional tori. Examples also show that the spectrum of the Laplacian defined by a connection on a line bundle over a flat torus determines neither the isometry class of the torus nor the Chern class of the line bundle.

In arbitrary dimensions, we show that the collection of all the spectra $Spec(Q; L,\nabla )$, as $\nabla $ ranges over the translation invariant connections, uniquely determines the potential. This collection of spectra is a natural generalization to line bundles of the classical Bloch spectrum of the torus.

Détail

Publié le : 2008-01-01

MR 2498357 | Zbl 1159.58015 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2420
Classification:  58J50,  58J53
Mots clés: opérateur de Schrödinger, spectre, droites complexes au dessus de tores

Bibliographie

[1] Duistermaat, J.; Guillemin, V. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics, Invent. Math., Tome 29 (1975), pp. 39-79 | Article | MR 405514 | Zbl 0307.35071

[2] Dupont, J. L. Curvature and Characteristic Classes, Springer-Verlag, Lecture Notes in Mathematics, Tome 640 (1968) | MR 500997 | Zbl 0373.57009

[3] Eskin, G. Inverse spectral problem for the Schrödinger equation with periodic vector potential, Commun. Math. Phys., Tome 125 (1989) no. 2, pp. 263-300 | Article | MR 1016872 | Zbl 0697.35168

[4] Eskin, G.; Ralston, J.; Trubowitz, E. On Isospectral Periodic Potentials in $\mathbb{R}^{n}$, I, II., Comm. in Pure and Appl. Math., Tome 37 (1984), p. 647-676, 715–753 | Article | MR 752594 | Zbl 0582.35031

[5] Gilkey, P. B. Recursion relations and the asymptotic behavior of the eigenvalues of the Laplacian, Comp. Math., Tome 38 (1978) no. 2, pp. 201-240 | Numdam | MR 528840 | Zbl 0405.58050

[6] Gordon, C.; Kappeler, T. On isospectral potentials on tori, Duke Math. J., Tome 63 (1991) no. 1, pp. 217-233 (Part II, Comm. in PDE 20 (1995), p. 709-728) | Article | MR 1106944 | Zbl 0732.35064

[7] Gordon, C.; Wilson, E. N. The spectrum of the Laplacian on Riemannian Heisenberg manifolds, Mich. Math. J., Tome 33 (1986), pp. 253-271 | Article | MR 837583 | Zbl 0599.53038

[8] Griffiths, P.; Harris, J. Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons (1978) | MR 507725 | Zbl 0408.14001

[9] Grigis, A.; Sjöstrand, J. Microlocal Analysis for Differential Operators, London Mathematical Society, Cambridge University Press, Lecture Note Series, Tome 196 (1994) | MR 1269107 | Zbl 0804.35001

[10] Guillemin, V. Inverse spectral results on two-dimensional tori, J. Am. Math. Soc., Tome 3 (1990) no. 2, pp. 375-387 | Article | MR 1035414 | Zbl 0702.58075

[11] Kappeler, T. On isospectral periodic potentials on a discrete lattice II., Adv. in Appl. Math., Tome 9 (1988), pp. 428-438 | Article | MR 968676 | Zbl 0675.35023

[12] Kuchment, P. Floquet theory for partial differential equations, Birkhäuser (1993) | MR 1232660 | Zbl 0789.35002

[13] Lax, P. Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems, Duke Math. J., Tome 24 (1957), pp. 624-646 | Article | MR 97628 | Zbl 0083.31801

[14] Palais, R. S.; Stewart, T. E. Torus bundles over a torus, Proc. Amer. Math. Soc., Tome 12 (1961), pp. 26-29 | Article | MR 123638 | Zbl 0102.38702

[15] Roe, J. Elliptic operators, topology, and asymptotic methods, Pitman, Addison Wesley Longman, Research Notes in Mathematics, Tome 395 (1998) | MR 1670907 | Zbl 0919.58060