On the Fefferman-Phong inequality
[Sur l’inégalité de Fefferman-Phong]
Boulkhemair, Abdesslam
Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008), p. 1093-1115 / Harvested from Numdam

Nous montrons que le nombre de dérivées d’un symbole non négatif d’ordre 2, nécessaire pour établir l’inégalité classique de Fefferman-Phong est majoré par n 2+4+ϵ améliorant ainsi la borne 2n+4+ϵ obtenue récemment par N. Lerner et Y. Morimoto. Dans le cas des symboles de type S 0,0 0 , nous montrons que ce nombre est majoré par n+4+ϵ ; plus précisément, pour un symbole non négatif a, on a l’inégalité de Fefferman-Phong si les x α ξ β a(x,ξ) sont bornées en gros pour 4|α|+|β|n+4+ϵ. Pour obtenir ces résultats et d’autres, nous commençons par établir un résultat abstrait qui dit que l’inégalité de Fefferman-Phong pour un symbole non négatif a a lieu pourvu que les dérivées partielles d’ordre 4 de a soient dans une algèbre 𝒜 de fonctions bornées sur l’espace des phases, qui vérifie essentiellement deux conditions  : 𝒜 est, en gros, invariante par translation et les opérateurs associés aux symboles de 𝒜 sont bornés dans L 2 .

We show that the number of derivatives of a non negative 2-order symbol needed to establish the classical Fefferman-Phong inequality is bounded by n 2+4+ϵ improving thus the bound 2n+4+ϵ obtained recently by N. Lerner and Y. Morimoto. In the case of symbols of type S 0,0 0 , we show that this number is bounded by n+4+ϵ; more precisely, for a non negative symbol a, the Fefferman-Phong inequality holds if x α ξ β a(x,ξ) are bounded for, roughly, 4|α|+|β|n+4+ϵ. To obtain such results and others, we first prove an abstract result which says that the Fefferman-Phong inequality for a non negative symbol a holds whenever all fourth partial derivatives of a are in an algebra 𝒜 of bounded functions on the phase space, which satisfies essentially two assumptions : 𝒜 is, roughly, translation invariant and the operators associated to symbols in 𝒜 are bounded in L 2 .

Publié le : 2008-01-01
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2379
Classification:  35Axx,  35Sxx,  47G30,  58J40
Mots clés: inégalité de Fefferman-Phong, inégalité de Gårding, symbole, S ϱ,δ m , opérateur pseudodifférentiel, quantification de Weyl, quantification de Wick, semi-borné, continuité L 2 , algèbre de symboles, espace de Sobolev uniformément local, classe de Hölder, semi-classique, classe de Weyl-Hörmander
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     author = {Boulkhemair, Abdesslam},
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Boulkhemair, Abdesslam. On the Fefferman-Phong inequality. Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) pp. 1093-1115. doi : 10.5802/aif.2379. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_2008__58_4_1093_0/

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