On the Fefferman-Phong inequality

[Sur l’inégalité de Fefferman-Phong]

Boulkhemair, Abdesslam

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008), p. 1093-1115 / Harvested from Numdam

Résumé

Nous montrons que le nombre de dérivées d’un symbole non négatif d’ordre 2, nécessaire pour établir l’inégalité classique de Fefferman-Phong est majoré par ${n\over 2}+4+\epsilon $ améliorant ainsi la borne $2n+4+\epsilon $ obtenue récemment par N. Lerner et Y. Morimoto. Dans le cas des symboles de type $S^0_{0,0}$, nous montrons que ce nombre est majoré par $n+4+\epsilon $ ; plus précisément, pour un symbole non négatif $a$, on a l’inégalité de Fefferman-Phong si les $\partial _x^\alpha \partial _\xi ^\beta a(x,\xi )$ sont bornées en gros pour $4\le |\alpha |+|\beta |\le n+4+\epsilon $. Pour obtenir ces résultats et d’autres, nous commençons par établir un résultat abstrait qui dit que l’inégalité de Fefferman-Phong pour un symbole non négatif $a$ a lieu pourvu que les dérivées partielles d’ordre 4 de $a$ soient dans une algèbre ${\mathcal{A}}$ de fonctions bornées sur l’espace des phases, qui vérifie essentiellement deux conditions  : ${\mathcal{A}}$ est, en gros, invariante par translation et les opérateurs associés aux symboles de ${\mathcal{A}}$ sont bornés dans $L^2$.

Abstract

We show that the number of derivatives of a non negative 2-order symbol needed to establish the classical Fefferman-Phong inequality is bounded by ${n\over 2}+4+\epsilon $ improving thus the bound $2n+4+\epsilon $ obtained recently by N. Lerner and Y. Morimoto. In the case of symbols of type $S^0_{0,0}$, we show that this number is bounded by $n+4+\epsilon $; more precisely, for a non negative symbol $a$, the Fefferman-Phong inequality holds if $\partial _x^\alpha \partial _\xi ^\beta a(x,\xi )$ are bounded for, roughly, $4\le |\alpha |+|\beta |\le n+4+\epsilon $. To obtain such results and others, we first prove an abstract result which says that the Fefferman-Phong inequality for a non negative symbol $a$ holds whenever all fourth partial derivatives of $a$ are in an algebra ${\mathcal{A}}$ of bounded functions on the phase space, which satisfies essentially two assumptions : ${\mathcal{A}}$ is, roughly, translation invariant and the operators associated to symbols in ${\mathcal{A}}$ are bounded in $L^2$.

Détail

Publié le : 2008-01-01

MR 2427955 | Zbl 1145.35099

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2379
Classification:  35Axx,  35Sxx,  47G30,  58J40
Mots clés: inégalité de Fefferman-Phong, inégalité de Gårding, symbole, $S^m_{\varrho ,\delta }$, opérateur pseudodifférentiel, quantification de Weyl, quantification de Wick, semi-borné, continuité $L^2$, algèbre de symboles, espace de Sobolev uniformément local, classe de Hölder, semi-classique, classe de Weyl-Hörmander

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