A finiteness result for the compactly supported cohomology of rigid analytic varieties, II

[Un résultat de finitude de la cohomologie à support compact des variétés rigides, II]

Huber, Roland

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007), p. 973-1017 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $h:X \rightarrow Y$ un morphisme séparé d’espaces adiques de type fini sur un corps non archimédien $k$ avec $Y$ affinoïde et de dimension $\le 1$. Soit $L$ un sous-ensemble constructible localement fermé dans $X$ et soit $g:(X,L) \rightarrow Y$ le morphisme d’espaces pseudo-adiques induit de $h$. Soit $A$ un anneau noethérien de torsion première à la caractéristique résiduelle de $k$ et soit $F$ un faisceau de $A$-modules localement constant de type fini sur $(X,L)_{\rm \acute{e}t}$. Il y a une classe naturelle $\mathscr{C} (Y)$ des faisceaux de $A$-modules sur $Y_{\rm \acute{e}t}$ engendrée par des faisceaux de $A$-modules constructibles et des faisceaux de $A$-modules Zariski-constructibles. Nous montrons que le faisceau image directe à support propre $R^ng_!F$ est génériquement constructible, et si $h$ est localement algébrique, $R^ng_!F$ est un élément de $\mathscr{C} (Y)$. En conséquence, on obtient un théorème de comparaison entre cohomologie $\ell $-adique d’un schéma séparé de type fini sur $k$ et de l’espace adique associé.

Abstract

Let $h:X \rightarrow Y$ be a separated morphism of adic spaces of finite type over a non-archimedean field $k$ with $Y$ affinoid and of dimension $\le 1$, let $L$ be a locally closed constructible subset of $X$ and let $g:(X,L) \rightarrow Y$ be the morphism of pseudo-adic spaces induced by $h$. Let $A$ be a noetherian torsion ring with torsion prime to the characteristic of the residue field of the valuation ring of $k$ and let $F$ be a constant $A$-module of finite type on $(X,L)_{\rm \acute{e}t} $. There is a natural class $\mathscr{C} (Y)$ of $A$-modules on $Y_{\rm \acute{e}t}$ generated by the constructible $A$-modules and the Zariski-constructible $A$-modules. We show that, for every $n \in \mathbb{N} _0$, the higher direct image sheaf with proper support $R^ng_!F$ is generically constructible, and if $h$ is locally algebraic, $R^ng_!F$ is an element of $\mathscr{C} (Y)$. As an application we obtain a comparison isomorphism for the $\ell $-adic cohomology of a separated scheme of finite type over $k$ and its associated adic space.

Détail

Publié le : 2007-01-01

MR 2336836 | Zbl 1146.14015

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2283
Classification:  14G22,  14F20
Mots clés: espace analytique rigide, espace adique, cohomologie à support compact

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