Le théorème de Riesz-Raikov-Bourgain pour un endomorphisme algébrique de ${\mathbb{R}}^p$

Lootgieter, Jean-Claude

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007), p. 45-126 / Harvested from Numdam

Résumé

Le théorème classique de Riesz-Raikov assure que, pour tout entier $\theta >1$ et toute $f$ de $L^1(\mathbb{T})$, où $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, les moyennes

1N∑1Nf(θnx)convergentvers∫𝕋f(t)dt

pour presque tout point $x$ de $\mathbb{R}$. J.Bourgain (cf.Israël Math. Conf. Proc. 1990) a prouvé que la convergence précédente a lieu pour tout réel algébrique $\theta >1$ et toute $f$ de $L^2(\mathbb{T})$. Dans cet article nous prouvons que, si $\varphi $ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^p$ algébrique sur $\mathbb{Q}$, dont les valeurs propres sont toutes de module $>1$, alors pour toute $f$ de $L^2(\mathbb{T}^p)$, les moyennes $({1}/{N}) \sum _{1}^N f(\varphi ^n x)$ convergent vers $\int _{\mathbb{T}^p} f(t) \,{\rm d}\, t$ pour presque tout point $x$ de $\mathbb{R}^p$. Nous suivons et adaptons les arguments développés par J.Bourgain dans l’article précité.

Abstract

The classical Riesz-Raikov theorem states that, for any integer $\theta >1$ and any $f$ of $L^1(\mathbb{T})$, where $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, the averages

1N∑1Nf(θnx)convergeto∫𝕋f(t)dt

for almost every point $x$ of $\mathbb{R}$. J.Bourgain (cf.Israël Math. Conf. Proc. 1990) has proved that the preceding convergence takes place for any algebraic number $\theta >1$ and any $f$ of $L^2(\mathbb{T})$. In this paper we prove that, for any endomorphism $\varphi $ of $\mathbb{R}^p$ algebraic on $\mathbb{Q}$, whose proper values all have modulus $>1$, for any $f$ of $L^2(\mathbb{T}^p)$, the averages ${1}/{N}\sum _{1}^N f(\varphi ^n x)$ converge to $\int _{\mathbb{T}^p} f(t) \,{\rm d}\, t$ for almost every point $x$ of $\mathbb{R}^p$. We follow and adapt J.Bourgain’s arguments as developed in the above mentioned paper.

Détail

Publié le : 2007-01-01

MR 2313086 | Zbl 1128.47014

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2252
Classification:  47A35,  11D61,  42B05
Mots clés: Théorème de Riesz-Raikov, théorème ergodique maximal de Hopf, zéro-multiplicité des suites récurrentes linéaires, presque-orthogonalité, séries de Fourier et inégalités maximales

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