Invariance for multiples of the twisted canonical bundle

[Invariance des plurigenres du fibré canonique twisté]

Claudon, Benoît

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007), p. 289-300 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $\pi : \mathcal{X}\rightarrow \Delta $ une famille de variétés projectives et $(L,h)$ un fibré pseudo-effectif sur $\mathcal{X}$ ($i.e.$ la coubure $\Theta {h}{L}$ de $L$ est un courant positif fermé). Dans ses travaux sur l’invariance des plurigenres, Y. T. Siu s’intéressait à l’extension de sections de $mK_{\mathcal{X}_0}+L$ (au dessus de la fibre centrale $\mathcal{X}_0$) en sections de $mK_\mathcal{X}+L$. On considère ici le problème suivant  : étendre des sections de $m(K_\mathcal{X}+L)$. Plus précisément, sous la condition de trivialité de l’idéal muliplicateur de la métrique $h$ sur la fibre centrale ($\mathcal{I}(h_{\vert \mathcal{X}_0})=\mathcal{O}_{\mathcal{X}_0}$), on montre que toute section de $m(K_{\mathcal{X}_0}+L)$ s’étend en une section de $m(K_\mathcal{X}+L)$ ; en d’autres termes, l’application de restriction

H0(𝒳,m(K𝒳+L))→H0(𝒳0,m(K𝒳0+L))

est surjective.

À la fin de cet article, la comparaison avec un énoncé analogue concernant les variétés projectives (dû à S. Takayama) nous amène à discuter des différentes hypothèses de positivité formulées dans ces différents résultats d’extension.

Abstract

Let $\mathcal{X}\rightarrow \Delta $ a smooth projective family and $(L,h)$ a pseudo-effective line bundle on $\mathcal{X}$ (i.e. with a non-negative curvature current $\Theta {h}{L}$). In its works on invariance of plurigenera, Y.-T. Siu was interested in extending sections of $mK_{\mathcal{X}_0}+L$ (defined over the central fiber of the family $\mathcal{X}_0$) to sections of $mK_\mathcal{X}+L$. In this article we consider the following problem: to extend sections of $m(K_\mathcal{X}+L)$. More precisely, we show the following result: assuming the triviality of the multiplier ideal sheaf $\mathcal{I}(\mathcal{X}_0,h_{\vert \mathcal{X}_0})$, any section of $m(K_{\mathcal{X}_0}+L)$ extends to $\mathcal{X}$ ; in other words, the restriction map:

H0(𝒳,m(K𝒳+L))→H0(𝒳0,m(K𝒳0+L))

is surjective.

At the end of this paper, we compare this result to the case of projective manifolds: in this situation an analogous statement (due to S. Takayama) is given to extend (twisted) pluricanonical sections. This lead us to discuss the different positivity assumptions required in extension results.

Détail

Publié le : 2007-01-01

MR 2316240 | Zbl 1122.32013

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2259
Classification:  32G10,  32J25,  32D15,  14D06
Mots clés: extension de formes, pluricanoniques, invariance des plurigenres, filmé en droite pseudo- effectif, métrique singulière, faisceaux d’idéaux multiplicateurs

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