Sommes des chiffres de multiples d'entiers

Dartyge, Cécile ; Tenenbaum, Gérald

Annales de l'Institut Fourier, Tome 55 (2005), p. 2423-2474 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $q\in \mathbb {N}$, $q\ge 2$. Pour $n\in \mathbb {N}$, on note $s_q(n)$ la somme des chiffres de $n$ en base $q$. Nous donnons des majorations de sommes d’exponentielles de la forme G(x,y,θ;α,𝐡)=∑ x<n≤x+y exp(2iπ(α 1 s q (h 1 n)+⋯+α r s q (h r n)+θn)), pour $r\in \mathbb {N}^*$, ${\bf h}\in \mathbb {N}^{*r}$ et $\theta \in r$. De telles sommes ont déjà été étudiées dans le cas $r=1$ par Gelfond, et pour $r\ge 2$ entre autre par Coquet et Solinas. Nos résultats étendent le domaine de validité en $\bf h$ de ces précédents travaux pour $r\ge 2$, sont plus précis et ont l’avantage d’être uniformes en $x$ et $r$ et effectifs en $\bf h$. Ce contrôle soigneux des paramètres nous permet d’obtenir divers types d’applications. Nous montrons par exemple que pour $k\ge 2$ il existe une infinité d’entiers $n$ avec exactement $k$ facteurs premiers et vérifiant $s_q(n)\equiv am$ (pour $(m,q-1)=1$). Nous obtenons également des majorations de sommes de la forme $\sum _{n\le x}\exp (2i\pi \alpha s_q(hn))f(n)$ où $f$ est une fonction multiplicative de module au plus $1$.

Abstract

Let $q\in \mathbb {N}$, $q\ge 2$. For $n\in \mathbb {N}$, denote by $s_q(n)$ the sum of digits of $n$ in the $q$-ary digital expansion. We give upper bounds for exponential sums like G(x,y,θ;α,bfh)=∑ x<n≤x+y exp(2iπ(α 1 s q (h 1 n)+⋯+α r s q (h r n)+θn)), with $r\in \mathbb {N}^*$, ${\bf h}\in \mathbb {N}^{*r}$ and $\theta \in r$. The case $r=1$ has already been studied by Gelfond and the case $r\ge 2$ by Coquet and Solinas. For $r\ge 2$, our results are more precises and significative for a wider range of $\bf h$. Furthermore they are uniform in $x$ and $\theta $ and explicits in $\bf h$. The control of these parameters is crucial for various applications given in the paper. For example we prove that if $k\in \mathbb {N}$, $k\ge 2$, there exists infinitely many integers $n$ with exactly $k$ prime factors and such that $s_q(n)\equiv am$ (for $(m,q-1)=1$). We also obtain upper bounds of sums of the form $\sum _{n\le x}\exp (2i\pi \alpha s_q(hn))f(n)$ where $f$ is a multiplicative fonction of modulus less than $1$.

Détail

Publié le : 2005-01-01

MR 2207389 | Zbl 05015294

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2166
Classification:  11L07,  11B85,  11A63
Mots clés: sommes des chiffres, répartition dans les progressions arithmétiques, fonctions multiplicatives

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