Nous définissons les fibrés en droites locaux sur une variété, qui sont classifiés par la cohomologie réelle de degré 2. Le twist d'opérateurs pseudodifférentiels par de tels fibrés en droites donne lieu à une algébroïde contenant des éléments elliptiques dont l'indice à valeurs dans les réels est donné par une variante de la formule de l'indice d'Atiyah et Singer. En utilisant des idées de Boutet de Monvel et Guillemin, on montre que, sur toute variété symplectique compacte, il est possible d'obtenir le produit étoilé de Lecomte et DeWilde ([3]) (voir aussi la construction de Fedosov ([7]) à partir de l'algébroïde associée au twist des opérateurs de Toeplitz. Cela établit du même coup que la trace définie sur cette algèbre étoilée peut être identifiée avec la trace résiduelle de Wodzicki ([18]) et Guillemin ([10]).
The notion of a local line bundle on a manifold, classified by 2-cohomology with real coefficients, is introduced. The twisting of pseudodifferential operators by such a line bundle leads to an algebroid with elliptic elements with real-valued index, given by a twisted variant of the Atiyah-Singer index formula. Using ideas of Boutet de Monvel and Guillemin the corresponding twisted Toeplitz algebroid on any compact symplectic manifold is shown to yield the star products of Lecomte and DeWilde ([3]) see also Fedosov's construction in ([7]). This also shows that the trace on the star algebra is identified with the residue trace of Wodzicki ([18]) and Guillemin ([10]).
@article{AIF_2004__54_5_1581_0,
author = {Melrose, Richard},
title = {Star products and local line bundles},
journal = {Annales de l'Institut Fourier},
volume = {54},
year = {2004},
pages = {1581-1600},
doi = {10.5802/aif.2060},
mrnumber = {2127859},
zbl = {1061.47064},
language = {en},
url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_2004__54_5_1581_0}
}
Melrose, Richard. Star products and local line bundles. Annales de l'Institut Fourier, Tome 54 (2004) pp. 1581-1600. doi : 10.5802/aif.2060. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_2004__54_5_1581_0/
[1] & , Calculus on Heisenberg manifolds, Annals of Mathematics Studies vol. 119, Princeton University Press, 1988 | MR 953082 | Zbl 0654.58033
[2] & , The spectral theory of Toeplitz operators, Ann. of Math. Studies vol. 99, Princeton University Press, 1981 | MR 620794 | Zbl 0469.47021
[3] & , Star-produits et déformations formelles associées aux variétés symplectiques exactes, C.R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math 296 (1983) no.19 p. 825-828 | MR 711841 | Zbl 0525.58040
[4] & , Contact degree and the index of Fourier integral operators, Math. Res. Lett 5 (1998) no.3 p. 363-381 | MR 1637844 | Zbl 0929.58012
[5] & , The Heisenberg algebra, index theory and homology, This became (6) without Mendoza as coauthor
[6] , & , The Heisenberg algebra, index theory and homology (in preparation),
[7] , Deformation quantization and asymptotic operator representation, Funktsional. Anal. i Prilozhen 25 (1991) no.3 p. 24-36 | MR 1139872 | Zbl 0737.47042
[8] , Analytic pseudodifferential operators for the Heisenberg group and local solvability, Princeton University Press, 1990 | MR 1030277 | Zbl 0695.47051
[9] , Star products on compact pre-quantizable symplectic manifolds, Lett. Math. Phys 35 (1995) no.1 p. 85-89 | MR 1346047 | Zbl 0842.58041
[10] , A new proof of Weyl's formula on the asymptotic distribution of eigenvalues, Adv. Math 55 (1985) p. 131-160 | MR 772612 | Zbl 0559.58025
[11] , The analysis of linear partial differential operators, vol. 3, Springer-Verlag, 1985 | MR 404822 | Zbl 0601.35001
[12] , & , Fractional analytic index, Submitted | Zbl 05068853
[13] & , -theory of -algebras of -pseudodifferential operators, Geom. Funct. Anal 8 (1998) p. 88-122 | MR 1601850 | Zbl 0898.46060
[14] , The Atiyah-Patodi-Singer index theorem, A K Peters Ltd., 1993 | MR 1348401 | Zbl 0796.58050
[15] , Bundle gerbes, J. London Math. Soc 54 (1996) p. 403-416 | MR 1405064 | Zbl 0867.55019
[16] , Complex powers of an elliptic operator, Amer. Math. Soc., 1967, p. 288-307 | Zbl 0159.15504
[17] , Noncommutative microlocal analysis. I, Mem. Amer. Math. Soc vol. 313, AMS, 1984 | MR 764508 | Zbl 0554.35025
[18] , Noncommutative residue. I. Fundamentals, Lecture Notes in Math., Springer, 1987, p. 320-399 | Zbl 0649.58033