A spectral analysis of automorphic distributions and Poisson summation formulas

[Décomposition des distributions automorphes et formules de Poisson]

Unterberger, André

Annales de l'Institut Fourier, Tome 54 (2004), p. 1151-1196 / Harvested from Numdam

Résumé

Les distributions automorphes sur ${\mathbb {R}}^d$ sont celles invariantes par l’action linéaire du groupe $SL(d,{\mathbb {Z}})$. Un cas particulier est constitué par les peignes, qui sont en outre des mesures à support dans ${\mathbb {Z}}^d$ : la décomposition d’un peigne en ses composantes homogènes se fait suivant la famille $({\mathfrak {E}}^d_{i\lambda })_{\lambda \in {\mathbb {R}}}$, des distributions d’Eisenstein, les coefficients étant donnés par une série de Dirichlet ${\mathcal {D}}(s)$. Les équations fonctionnelles du genre usuel (Hecke) relatives à ${\mathcal {D}}(s)$, peuvent se traduire en termes de l’invariance du peigne considéré par la transformation de Fourier, légèrement modifiée. Ceci conduit à une façon automatique d’associer des formules du genre de la formule de Poisson, ou de celle de Voronoï, aux formes modulaires, holomorphes ou non-holomorphes

Abstract

Automorphic distributions are distributions on ${\mathbb {R}}^d$, invariant under the linear action of the group $SL(d,{\mathbb {Z}})$. Combs are characterized by the additional requirement of being measures supported in ${\mathbb {Z}}^d$: their decomposition into homogeneous components involves the family $({\mathfrak {E}}^d_{i\lambda })_{\lambda \in {\mathbb {R}}}$, of Eisenstein distributions, and the coefficients of the decomposition are given as Dirichlet series ${\mathcal {D}}(s)$. Functional equations of the usual (Hecke) kind relative to ${\mathcal {D}}(s)$ turn out to be equivalent to the invariance of the comb under some modification of the Fourier transformation. This leads to an automatic way to associate Poisson-like (or Voronoï-like) summation formulas to (holomorphic or non-holomorphic) modular forms

Détail

Publié le : 2004-01-01

MR 2127847 | Zbl 1066.11040

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2048
Classification:  11E45,  11M36,  46F99

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