Volume et courbure totale pour les hypersurfaces de l'espace euclidien

Oancea, Alexandru

Annales de l'Institut Fourier, Tome 54 (2004), p. 733-771 / Harvested from Numdam

Résumé

Nous étudions des analogues en dimension supérieure de l’inégalité de Burago $A(S)\le R^2 T(S)$, avec $S$ une surface fermée de classe $C^2$ immergée dans ${\mathbb {R}}^3$, $A(S)$ son aire et $T(S)$ sa courbure totale. Nous donnons un exemple explicite qui prouve qu’une inégalité analogue de la forme ${\rm vol}(M) \le C_n R^n T(M)$, avec $C_n > 0$ une constante, ne peut être vraie pour une hypersurface fermée $M$ de classe $C^2$ dans ${\mathbb {R}}^{n+1}$, $n\ge 3$. Nous mettons toutefois en évidence une condition suffisante sur la courbure de Ricci sous laquelle l’inégalité est vérifiée en dimension $n=3$. En dimension arbitraire, nous obtenons une inégalité similaire à caractère semi-local qui majore le volume d’un compact $K$ de $M$ par la courbure totale d’un ouvert $U$ qui le contient, sous l’hypothèse que la courbure de Gauss-Kronecker ne s’annule pas sur $U$. Nous présentons différentes autres inégalités impliquant la courbure totale et ayant un caractère isopérimétrique. Au passage, nous obtenons une inégalité isopérimétrique “inverse” valable dans les espaces à courbure constante.

Abstract

We study higher dimensional analogues of Burago’s inequality $A(S)\le R^2 T(S)$, where $S$ is a closed surface $C^2$ immersed in ${\mathbb {R}}^3$, $A(S)$ is the area and $T(S)$ is the total curvature. We construct an explicit example showing that an analogous inequality of the form ${\rm vol}(M) \le C_n R^n T(M)$, with $C_n >0$ a constant, cannot hold for an arbitrary closed $C^2$ immersed hypersurface $M$ of ${\mathbb {R}}^{n+1}$, $n\ge 3$. Nonetheless, we exhibit a sufficient condition on the Ricci curvature of $M$ which ensures the inequality in dimension $n=3$. In arbitrary dimension, we prove a semi- local inequality bounding the volume of a compact set $K\subset M$ by the total curvature of some open set $U$ containing it, under the assumption that the Gauss-Kronecker curvature does not vanish on $U$. We prove various other inequalities having an isoperimetric flavour and show that they are optimal. We also prove a “reverse” isoperimetric inequality holding in constant curvature spaces.

Détail

Publié le : 2004-01-01

MR 2097421 | Zbl 1067.53002

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2032
Classification:  52A40,  53A07,  53C21
Mots clés: hypersurfaces, courbure totale, inégalités isopérimétriques

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