On a two-variable zeta function for number fields

[Sur une fonction zêta à deux variables pour les corps de nombres]

Lagarias, Jeffrey C. ; Rains, Eric

Annales de l'Institut Fourier, Tome 53 (2003), p. 1-68 / Harvested from Numdam

Résumé

Cet article étudie une fonction zêta à deux variables $Z_K (w, s)$ attachée à un corps de nombres algébriques $K$. Définie par van der Geer et Schoof, elle provient d’un analogue du théorème de Riemann-Roch pour les corps de nombres, utilisant les diviseurs d’Arakelov. Lorsque $w= 1$ cette fonction devient la fonction zêta de Dedekind complète $\hat{\zeta }_K(s)$ du corps $K$. C’est une fonction méromorphe de deux variables complexes avec $s(w - s)$ comme diviseur des pôles, et elle satisfait l’équation fonctionnelle $Z_K(w, s) = Z_K(w,w - s)$. Nous considérons le cas particulier $K = {\mathbb {Q}}$, pour lequel lorsque $w= 1$ la fonction est $\hat{\zeta }(s)= \pi ^{-{s\over 2}} \Gamma ({s\over 2}) \zeta (s)$. Nous montrons que la fonction $\xi _{{\mathbb {Q}}}(w, s) := {s(s- w)\over 2 w} Z_{{\mathbb {Q}}}(w, s)$ est une fonction entière sur ${\mathbb {C}}^2$, satisfaisant l’équation fonctionnelle $\xi _{{\mathbb {Q}}}(w, s) = \xi _{{\mathbb {Q}}}(w, w - s),$ et vérifiant $\xi _{{\mathbb {Q}}}(0, s) =-{s^2\over 8}(1 - 2^{1 + {s\over 2}}) (1 - 2^{1 - {s\over 2}}) \hat{\zeta }({s\over 2}) \hat{\zeta }({-s\over 2}).$ Nous étudions l’emplacement des zéros de $Z_{{\mathbb {Q}}}(w, s)$ pour les valeurs réelles de $w = u$. Pour $u \ge 0$ fixé, les zéros sont situés dans une bande verticale de largeur au plus $u + 16 $ et le nombre $N_u(T)$ de zéros de hauteurs au plus $T$ possède une asymptotique semblable à celle s’appliquant aux zéros de la fonction zêta de Riemann. Pour $u < 0$, les fonctions $Z_{{\mathbb {Q}}}(u, s)$ sont strictement positives sur la “droite critique” ${\mathfrak {R}}(s) = {u\over 2}$. Ce phénomène est associé à un semi-groupe de convolution, positif, de paramètre $u \in {\mathbb {R}}_{{> 0}}$, qui est un semi-groupe de lois de probabilités infiniment divisibles, ayant les densités $P_u(x)dx$ pour $x$ réel, avec $P_u(x) = {1\over 2\pi }\theta (1)^u Z_{{\mathbb {Q}}}(-u, -{u\over 2} + ix),$ et $\theta (1) = \pi ^{1/4}/\Gamma (3/4).$

Abstract

This paper studies a two-variable zeta function $Z_K (w, s)$ attached to an algebraic number field $K$, introduced by van der Geer and Schoof, which is based on an analogue of the Riemann-Roch theorem for number fields using Arakelov divisors. When $w= 1$ this function becomes the completed Dedekind zeta function $\hat{\zeta }_K(s)$ of the field $K$. The function is a meromorphic function of two complex variables with polar divisor $s(w - s)$, and it satisfies the functional equation $Z_K(w, s) = Z_K(w,w - s)$. We consider the special case $K = {\mathbb {Q}}$, where for $w = 1$ this function is $\hat{\zeta }(s)= \pi ^{- {s\over 2}} \Gamma ({s\over 2}) \zeta (s)$. The function $\xi _{{\mathbb {Q}}}(w, s) := {s(s- w)\over 2 w}Z_{{\mathbb {Q}}}(w, s)$ is shown to be an entire function on ${\mathbb {C}}^2$, to satisfy the functional equation $\xi _{{\mathbb {Q}}}(w, s) = \xi _{{\mathbb {Q}}}(w, w - s),$ and to have $\xi _{{\mathbb {Q}}}(0, s) =-{s^2\over 8}(1 - 2^{1 + {s\over 2}}) (1 - 2^{1 - {s\over 2}}) \hat{\zeta }({s\over 2}) \hat{\zeta }({-s\over 2}).$ We study the location of the zeros of $Z_{{\mathbb {Q}}}(w, s)$ for various real values of $w = u$. For fixed $u \ge 0$ the zeros are confined to a vertical strip of width at most $u + 16 $ and the number of zeros $N_u(T)$ to height $T$ has similar asymptotics to the Riemann zeta function. For fixed $u < 0$ these functions are strictly positive on the “critical line” ${\mathfrak {R}}(s) = {u\over 2}$. This phenomenon is associated to a positive convolution semigroup with parameter $u \in {\mathbb {R}}_{> 0}$, which is a semigroup of infinitely divisible probability distributions, having densities $P_u(x)dx$ for real $x$, where $P_u(x) = {1\over 2\pi }\theta (1)^u Z_{{\mathbb {Q}}}(-u, -{u\over 2} + ix),$ and $\theta (1) = \pi ^{1/4}/\Gamma (3/4)$.

Détail

Publié le : 2003-01-01

MR 1973068 | Zbl 1106.11036

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1939
Classification:  11M41,  11G40,  60E07
Mots clés: diviseurs d'Arakelov, équation fonctionnelle, lois de probabilités infiniment divisibles, fonction zêta

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