Fixed points of discrete nilpotent group actions on $S^2$

[Points fixes d’actions des groupes nilpotents discrets sur $S^2$]

Druck, Suely ; Fang, Fuquan ; Firmo, Sebastião

Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002), p. 1075-1091 / Harvested from Numdam

Résumé

On démontre que pour chaque entier $k\ge 2$ il existe un voisinage ouvert ${\mathcal {V}}_k$ de l’application identité de la 2-sphère, pour la $C^1$ topologie, tel que : si $G\subset {\rm Diff}^1(S^2)$ est un sous-groupe nilpotent à longueur de nilpotence $k$, engendré par une famille quelconque d’éléments de ${\mathcal {V}}_k$, alors l’action naturelle de $G$ sur $S^2$ a un point fixe. De plus, en présence d’une orbite finie cette action a au moins deux points fixes.

Abstract

We prove that for each integer $k\ge 2$ there is an open neighborhood ${\mathcal {V}}_k$ of the identity map of the 2-sphere $S^2$, in $C^1$ topology such that: if $G$ is a nilpotent subgroup of ${\rm Diff}^1(S^2)$ with length $k$ of nilpotency, generated by elements in ${\mathcal {V}}_k$, then the natural $G$-action on $S^2$ has nonempty fixed point set. Moreover, the $G$-action has at least two fixed points if the action has a finite nontrivial orbit.

Détail

Publié le : 2002-01-01

MR 1926674 | Zbl 1005.37019

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1912
Classification:  37B05,  37C25,  37C85
Mots clés: action de groupe, groupe nilpotent, point fixe

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