Equivariant deformation quantization for the cotangent bundle of a flag manifold

[Quantification par déformation équivariante pour le fibré cotangent d'une variété de drapeaux]

Brylinski, Ranee

Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002), p. 881-897 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $X$ une variété de drapeaux (généralisés) pour un groupe de Lie semisimple complexe $G$. Nous étudions la construction d’un star produit $\star $ gradué sur ${\mathcal {R}}=R(T^\star X)$ qui correspond à une quantification $G$-équivariante des symboles vers les opérateurs différentiels tordus agissant sur les demi-formes sur $X$. Lorsque ${\mathcal {R}}$ est engendrée par les fonctions moment $\mu ^x$ pour $G$, nous construisons de tels star produits $\star $, où $\mu ^x\star \phi $ est de la forme $\mu ^x\phi +{1\over 2}\lbrace \mu ^x,\phi \rbrace t+\Lambda ^x(\phi )t^2$. Les $\Lambda ^x$ sont ici des opérateurs sur ${\mathcal {R}}$. Dans les exemples connus, $\Lambda ^x$ ($x\ne 0$) n’est pas un opérateur différentiel, et le star produit $\mu ^x\star \phi $ n’est donc pas local en $\phi $. Alors ${\mathcal {R}}$ est munie d’une forme hermitienne invariante définie positive et compatible avec sa graduation. L’espace complété de ${\mathcal {R}}$ est un nouveau modèle de type Fock de la représentation unitaire de $G$ sur les demi-densités $L^2$ sur $X$.

Abstract

Let $X$ be a (generalized) flag manifold of a complex semisimple Lie group $G$. We investigate the problem of constructing a graded star product on ${\mathcal {R}}=R(T^\star X)$ which corresponds to a $G$-equivariant quantization of symbols into twisted differential operators acting on half-forms on $X$. We construct, when ${\mathcal {R}}$ is generated by the momentum functions $\mu ^x$ for $G$, a preferred choice of $\star $ where $\mu ^x\star \phi $ has the form $\mu ^x\phi +{1\over 2}\lbrace \mu ^x,\phi \rbrace t+\Lambda ^x(\phi )t^2$. Here $\Lambda ^x$ are operators on ${\mathcal {R}}$. In the known examples, $\Lambda ^x$ ($x\ne 0$) is not a differential operator, and so the star product $\mu ^x\star \phi $ is not local in $\phi $. ${\mathcal {R}}$ acquires an invariant positive definite inner product compatible with its grading. The completion of ${\mathcal {R}}$ is a new Fock space type model of the unitary representation of $G$ on $L^2$ half-densities on $X$.

Détail

Publié le : 2002-01-01

MR 1907391 | Zbl 1010.53067

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1905
Classification:  53D55,  22E46,  17B35,  53D50
Mots clés: quantification par déformation, variété de drapeaux, représentation unitaire

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