Iterates and the boundary behavior of the Berezin transform

[Itérations et comportement à la frontière de la transformation de Berezin]

Arazy, Jonathan ; Engliš, Miroslav

Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001), p. 1101-1133 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $\mu $ une mesure sur un domaine $\Omega $ de ${\mathbb {C}}^n$ tel que l’espace de Bergman des fonctions holomorphes dans $L^2(\Omega ,\mu )$ possède un noyau reproduisant $K(x,y)$ et que $K(x,x)>0,\,\forall x\in \Omega $. La transformation de Berezin associée à $\mu $ est l’opérateur intégral Bf(y)=K(y,y) -1 ∫ Ω f(x)|K(x,y)| 2 dμ(x). Le nombre $Bf(y)$ peut être interprété comme une valeur moyenne de $f$ au voisinage de $y$, et les fonctions satisfaisant à $Bf=f$ comme des fonctions ayant une certaine propriété de moyenne. Dans cet article nous étudions le comportement de $Bf$ à la frontière, l’existence de fonctions $f$ satisfaisant à $Bf=f$ et prenant une valeur au bord donnée, et la convergence des itérations $B^kf$, $k\rightarrow \infty $. Les meilleurs résultats sont obtenus pour des domaines à frontières lisses strictement pseudo-convexes $\Omega $ munis d’une mesure $\mu $ comme ci-dessus, et pour des domaines bornés symétriques $\Omega $ et $\mu $ l’une des mesures standard invariantes par rotation. Nous étudions également les opérateurs de convolution $B_\mu f=f*\mu $ sur un domaine borné symétrique $\Omega =G/K$ muni d’une mesure de probabilité absolument continue $K$- invariante $\mu $, et le comportement des symétries géodésiques $\phi _a$ de $\Omega $ lorsque $a$ tend vers la frontière.

Abstract

Let $\mu $ be a measure on a domain $\Omega $ in ${\mathbb {C}}^n$ such that the Bergman space of holomorphic functions in $L^2(\Omega ,\mu )$ possesses a reproducing kernel $K(x,y)$ and $K(x,x)>0$ $\forall x\in \Omega $. The Berezin transform associated to $\mu $ is the integral operator Bf(y)=K(y,y) -1 ∫ Ω f(x)|K(x,y)| 2 dμ(x). The number $Bf(y)$ can be interpreted as a certain mean value of $f$ around $y$, and functions satisfying $Bf=f$ as functions having a certain mean-value property. In this paper we investigate the boundary behavior of $Bf$, the existence of functions $f$ satisfying $Bf=f$ and having prescribed boundary values, and the convergence of the iterates $B^k f$, $k\rightarrow \infty $. The best results are obtained for smoothly bounded strictly pseudoconvex domains $\Omega $ with any measure $\mu $ as above, and for bounded symmetric domains $\Omega $ and $\mu $ one of the standard rotation-invariant measures on them. We also carry out similar investigation for convolution operators $B_\mu f=f*\mu $ on a bounded symmetric domain $\Omega =G/K$ with a $K$-invariant absolutely continuous probability measure $\mu $, and study the behavior of the geodesic symmetries $\phi _a$ of $\Omega $ as $a$ tends to the boundary.

Détail

Publié le : 2001-01-01

MR 1849217 | Zbl 0989.47027 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1847
Classification:  47B38,  32M15,  46E22,  60J05
Mots clés: transformation de Berezin, symétrie géodésique, domaine de Cartan, opérateur stochastique

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