Sections du fibré déterminant sur l'espace de modules des faisceaux semi-stables de rang 2 sur le plan projectif

Danila, Gentiana

Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000), p. 1323-1374 / Harvested from Numdam

Résumé

La conjecture de “dualité étrange” de Le Potier donne un isomorphisme entre l’espace des sections du fibré déterminant sur deux espaces de modules différents de faisceaux semi-stables sur le plan projectif ${\Bbb P}_2$. Si on considère deux classes orthogonales $c,u$ dans l’algèbre de Grothendieck ${\rm K}({\Bbb P}_2)$ telles que $c$ est de rang strictement positif et $u$ est de rang zéro, on note ${\rm M}_c$ et ${\rm M}_u$ les espaces de modules de faisceaux semi-stables de classe $c$, respectivement $u$, sur ${\Bbb P}_2$. Il existe sur ${\rm M}_c$ (resp. ${\rm M}_u$) un fibré déterminant ${\cal D}_u$ (resp. ${\cal D}_c$) et le produit tensoriel externe ${\cal D}_u\times {\cal D}_c$ sur l’espace produit ${\rm M}_c\times {\rm M}_u$ a une section canonique $\sigma _{c,u}$ qui fournit une application linéaire ${\rm D}_{c,u}:{\rm H}^0({\rm M}_u,{\cal D}_c)^*\rightarrow {\rm H}^0({\rm M}_c,{\cal D}_u)$. Si ${\rm M}_c$ n’est pas vide, la conjecture affirme que ${\rm D}_{c,u}$ est un isomorphisme. Nous prouvons la conjecture dans le cas particulier où $c$ est de rang $2$, avec première classe de Chern nulle et deuxième classe de Chern $c_2(c)\le 19$, et $u$ est de degré $d(u)=1$ et de caractéristique d’Euler-Poincaré nulle. Nous calculons dans ce cas la dimension de l’espace des sections globales du fibré déterminant sur ${\rm M}_n={\rm M}_c$.

Abstract

Le Potier’s “Strange Duality” conjecture gives an isomorphism between the space of sections of the determinant bundle on two different moduli spaces of semi-stable sheaves on the projective plane ${\Bbb P}_2$. If we consider two orthogonal classes $c,u$ in the Grothendieck algebra ${\rm K}({\Bbb P}_2)$ such that $c$ is of positive rank and $u$ of rank zero, we call ${\rm M}_c$ and ${\rm M}_u$ the moduli spaces of semi-stable sheaves of class $c$, respectively $u$ on ${\Bbb P}_2$. There exists on ${\rm M}_c$ (resp. ${\rm M}_u$) a determinant bundle ${\cal D}_u$ (resp. ${\cal D}_c$) and the product fibre bundle ${\cal D}_u\times {\cal D}_c$ on the product space ${\rm M}_c\times {\rm M}_u$ has a canonical section $\sigma _{c,u}$ which provides a linear application ${\rm D}_{c,u}:{\rm H}^0({\rm M}_u,{\cal D}_c)^*\rightarrow {\rm H}^0({\rm M}_c,{\cal D}_u)$. If ${\rm M}_c$ is not empty, ${\rm D}_{c,u}$ is conjectured to be an isomorphism. We prove the conjecture in the particular case where $c$ is of rank $2$, zero first Chern class and second Chern class $c_2(c)\le 19$, and $u$ is of degree $d(u)=1$ and zero Euler-Poincaré characteristic. We compute in this case the dimension of the space of global sections of the determinant bundle on ${\rm M}_n={\rm M}_c$.

Détail

Publié le : 2000-01-01

MR 2001k:14028 | Zbl 0952.14010 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1795

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