Unitaires multiplicatifs en dimension finie et leurs sous-objets

Baaj, Saad ; Blanchard, Étienne ; Skandalis, Georges

Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999), p. 1305-1344 / Harvested from Numdam

Résumé

On appelle pré-sous-groupe d’un unitaire multiplicatif $V$ agissant sur un espace hilbertien de dimension finie ${\cal H}$ une droite vectorielle $L$ de ${\cal H}$ telle que $V(L\otimes L)=L\otimes L$. Nous montrons que les pré-sous-groupes sont en nombre fini, donnons un équivalent du théorème de Lagrange et généralisons à ce cadre la construction du “bi-produit croisé”. De plus, nous établissons des bijections entre pré-sous-groupes et sous-algèbres coïdéales de l’algèbre de Hopf associée à $V$, et donc, d’après Izumi, Longo, Popa, avec les facteurs intermédiaires des inclusions de facteurs associées. Enfin, nous montrons que les pré-sous-groupes classifient les sous-objets de $({\cal H},V)$.

Abstract

A pre-subgroup of a multiplicative unitary $V$ on a finite dimensional Hilbert space ${\cal H}$ is a vector line $L$ in ${\cal H}$ such that $V(L\otimes L)=L\otimes L$. We show that there are finitely many pre-subgroups, give a Lagrange theorem and generalize the construction of a “bi-crossed product”. Moreover, we establish bijections between pre-subgroups and coideal subalgebras of the Hopf algebra associated with $V$, and therefore, according to Izumi, Longo, Popa, with the intermediate subfactors of the associated (depth two) inclusions. Finally, we show that the pre-subgroups classify the subobjects of $({\cal H},V)$.

Détail

Publié le : 1999-01-01

MR 2000g:46070 | Zbl 0938.46050

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1719

Bibliographie

[1] S. Baaj et G. Skandalis, Unitaires multiplicatifs et dualité pour les produits croisés de C*-algèbres, Annales Scient. E. Norm. Sup., 4e série, 26 (1993), 425-488. | Numdam | MR 94e:46127 | Zbl 0804.46078

[2] M.-C. David, Paragroupe d'Adrian Ocneanu et algèbre de Kac. Pac., J. of Math., 172, No 2 (1996), 331-363. | MR 98f:46051 | Zbl 0852.46054

[3] M.-C. David, Couple assorti de systèmes de Kac et inclusions de facteurs de type II1, Prépublication. | Zbl 0924.46045

[4] M. Enock, Inclusions irréductibles de facteurs et unitaires multiplicatifs II, Prépublication. | Zbl 0921.46065

[5] M. Enock, Sous-facteurs intermédiaires et groupes quantiques mesurés, Prépublication. | Zbl 01743890

[6] M. Enock and R. Nest, Irreducible inclusions of factors, multiplicative unitaries and Kac algebras, J.F.A., 137, No 2 (1996), 466-543. | MR 97f:46098 | Zbl 0847.22003

[7] M. Enock et J.-M. Schwartz, Kac Algebras and Duality of Locally Compact Groups, Springer, 1992.

[8] F.M. Goodman, P. De La Harpe, V.F.R. Jones, Coxeter graphs and towers of algebras, M.S.R.I. publ. 14. | MR 91c:46082 | Zbl 0698.46050

[9] J.H. Hong and W. Szymański, Composition of subfactors and twisted bicrossed products, J. Operator Theory, 37, no. 2 (1997), 281-302. | MR 98f:46052 | Zbl 0890.46044

[10] M. Izumi and H. Kosaki, Finite-dimensional Kac algebras arising from certain group actions on a factor, Internat. Math. Res. Notices, no. 8 (1996), 357-370. | MR 97e:46082 | Zbl 0887.46039

[11] M. Izumi, R. Longo and S. Popa, A Galois Correspondance for Compact Groups of Automorphisms of von Neumann Algebras with a Generalization to Kac Algebras, preprint, Feb. 1996. | Zbl 0915.46051

[12] G.I. Kac, Extensions of groups to ring groups, Math U.S.S.R. Sbornik, 5 (1968), 451-474. | Zbl 0205.03301

[13] G.I. Kac and V.G. Paljutkin, Finite group rings, Trans. Moskow Math. Soc., (1966), 251-294.

[14] R. Longo, A duality for Hopf algebras and subfactors I, Comm. Math. Phys., 159 (1994), 133-155. | MR 95h:46097 | Zbl 0802.46075

[15] S. Majid, Hopf-von Neumann algebra bicrossproducts, Kac algebra bicrossproducts, and the classical Yang-Baxter equations, J.F.A., 95, No 2 (1991), 291-319. | MR 92b:46088 | Zbl 0741.46033

[16] A. Masuoka, Freeness of Hopf Algebras over coideal subalgebras, Comm. in Alg., 20 (5) (1992), 1353-1373. | MR 93d:16051 | Zbl 0804.16040

[17] S. Montgomery, Hopf algebras and their action on rings, C.B.M.S. lecture notes, 82, A.M.S. (1993). | MR 94i:16019 | Zbl 0793.16029

[18] W.D. Nichols and M.B. Zoeller, Hopf algebra freeness theorem, Amer. J. of Math., 111 (1989), 381-385. | MR 90c:16008 | Zbl 0672.16006

[19] S. Popa, Orthogonal pairs of *-subalgebras in finite von Neumann algebras, J. Operator Theory, 9 (1983), 253-268. | MR 84h:46077 | Zbl 0521.46048

[20] W. Szymanski, Finite index subfactors and Hopf algebras crossed products, Proc. A.M.S., 120 (1994), 519-528. | MR 94d:46061 | Zbl 0802.46076

[21] M. Takeuchi, Matched pairs of groups and bismashed product of Hopf algebras, Comm. Alg., 9 (1981), 841-882. | MR 83f:16013 | Zbl 0456.16011

[22] Y. Watatani, Lattice structure of intermediate subfactors, Math. Phys. Stud., 16, Quantum and non-commutative analysis (Kyoto, 1992), (1993), 331-333. | MR 95h:46093 | Zbl 0848.46042