Le rôle des algèbres $A$ de Wiener, $A^\infty $ de Beurling et $H^1$ de Sobolev dans la théorie des nombres premiers généralisés de Beurling

Kahane, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998), p. 611-648 / Harvested from Numdam

Résumé

La théorie des nombres premiers généralisés de Beurling fait intervenir $N(x)$, la fonction de décompte des entiers généralisés, $P(x)$, celle des nombres premiers généralisés, et $\zeta (s)$, la fonction dzeta adaptée. Les hypothèses sur $N(x)$ se traduisent en propriétés de $\zeta (s)$, qui entraînent ou non le “théorème des nombres premiers” (TNP) $P(x)\sim x/{\rm log}\,x$ ou “ l’inégalité de Tchebycheff” (IT) $P(x)=O(x/{\rm log}\,x)$. L’article est consacré au rôle de la fonction $it\zeta (1+it)$, en relation avec les algèbres $A={\cal F}L^1({\Bbb R}),\; A^\infty =\Big \lbrace f\displaystyle {\sup _{y\ge \vert x\vert }}\vert ({\cal F}f)(x)\vert \in L^1({\Bbb R}^ +,dy)\Big \rbrace $ et $H^1={\cal F}L^2 ({\Bbb R},(1+y^2)dy)$. On montre que l’hypothèse $it\zeta (1+it){\rm exp}(-2\vert t\vert ^\alpha )\in H^1$ entraîne (TNP) quand $\alpha < 2$ et non quand $\alpha =2$, et que l’appartenance locale de $it\zeta (1+it)$ à $H^1$ ou $A^\infty $ (mais non $A$) au voisinage de 0 entraîne (IT).

Abstract

The theory of Beurling’s generalized prime numbers involves $N(x)$, the counting function of the generalized integers, $P(x)$, the counting function of the generalized prime numbers, and $\zeta (s)$, the related zeta function. Assumptions on $(N(x)$ correspond to properties of $\zeta (s)$, which may or not imply the “prime number theorem” (PNT) $P(x)\sim x/{\rm log}\,x$ or the “Tchebycheff inequality” (TI) $P(x)=O(x/{\rm log}\,x)$. The article studies the role of the function $it\zeta (1+it)$, in relation with the algebras $A={\cal F}L^1({\Bbb R}),\; A^\infty =\Big \lbrace f\displaystyle {\sup _{y\ge \vert x\vert }}\vert ({\cal F}f)(x)\vert \in L^1({\Bbb R}^ +,dy)\Big \rbrace $ et $H^1={\cal F}L^2 ({\Bbb R},(1+y^2)dy)$. It is shown that the assumption $it\zeta (1+it){\rm exp}(-2\vert t\vert ^\alpha )\in H^1$ implies (PNT) if $\alpha < 2$, but not when $\alpha =2$, and that (TI) is implied by the fact that $it\zeta (1+it)$ belongs locally to $H^1$ or $A^\infty $ in a neighborhood of 0, but not by the corresponding assumption with $A$ in place of $H^1$ or $A^\infty $.

Détail

Publié le : 1998-01-01

MR 99k:11152 | Zbl 0905.11043

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1632

Bibliographie

[1] P. T. Bateman, and H. G. Diamond, Asymptotic distribution of Beurling's generalized prime numbers, Studies in Number Theory, Math. Assoc. Amer. Studies vol. 6 (W. J. Leveque, ed.), 1969, 152-210. | MR 39 #4105 | Zbl 0216.31403

[2] A. Beurling, Analyse de la loi asymptotique de la distribution des nombres premiers généralisés, Acta Math., 68 (1937), 255-291. | JFM 63.0138.01 | Zbl 0017.29604

[3] A. Beurling, Construction and analysis of some convolution algebras, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 14 (1964), 1-32. | Numdam | MR 32 #321 | Zbl 0133.07501

[4] H. G. Diamond, The prime number theorem for Beurling's generalized numbers, J. Number Theory, 1 (1969), 200-207. | MR 39 #4106 | Zbl 0167.32001

[5] H. G. Diamond, A set of generalized numbers showing Beurling's theorem to be sharp, III. J. Math., 14 (1970), 29-34. | MR 40 #5556 | Zbl 0186.36501

[6] H. G. Diamond, Chebyshev estimates for Beurling generalized prime numbers, Proc. Amer. Math. Soc., 39 (1973), 503-508. | MR 47 #3332 | Zbl 0268.10036

[7] H. G. Diamond, Chebyshev type estimates in prime number theory, in Séminaire de théorie des nombres, Université de Bordeaux I, 1974-1975, exposé n° 24. | Zbl 0312.10029

[8] R. S. Hall, Beurling generalized prime number systems in which the Chebyshev inequalities fail, Proc. Amer. Math. Soc., 40 (1973), 79-82. | MR 47 #6634 | Zbl 0264.10036

[9] J.-P. Kahane, A Fourier formula for prime numbers. Dedicated to the memory of Carl Herz, Canadian Math. Soc. Conference Proceedings, 21 (1997), 89-102. | MR 98f:11099 | Zbl 0905.11041

[10] J.-P. Kahane, Sur les nombres généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond., J. Th. Nombres Bordeaux, 9 (1997), 251-266. | Numdam | MR 99f:11127 | Zbl 0905.11042

[11] J.-P. Kahane, Le rôle de l'algèbre H1 de Sobolev dans la théorie des nombres premiers généralisés de Beurling, C. R. Acad. Sci. Paris, 324 (1997), 1117-1120. | MR 98d:11117 | Zbl 0886.11058

[12] S. L. Sobolev, (Soboleff), Sur quelques évaluations concernant les familles de fonctions etc..., C. R. Acad. Sc. URSS (Doklady) I (X), N. 7 (84), 1936, p. 279 et III (XII), N. 1 (98), 1936, p. 107. | JFM 62.0266.01 | Zbl 0014.05702

[13] N. Wiener, Tauberian theorems, Ann. Math., 33 (1932), 1-100. | JFM 58.0226.02 | Zbl 0004.05905

[14] N. Wiener, The Fourier integral and certain of its applications, Cambridge Univ. Press, 1933. | Zbl 0006.05401

[15] Wen-Lin Zhang, Chebyshev estimates for Beurling generalized prime numbers, Proc. Amer. Math. Soc., 101 (1987), 205-212. | MR 88m:11081 | Zbl 0624.10038

[16] A. Zygmund, Trigonometric series, II. Cambridge Univ. Press, 1959. | Zbl 0085.05601