On the Haagerup inequality and groups acting on $\tilde{A}_n$-buildings

Valette, Alain

Annales de l'Institut Fourier, Tome 47 (1997), p. 1195-1208 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $\Gamma $ un groupe muni d’une fonction-longueur $L$, et soit $E$ un sous-espace vectoriel de ${\bf C}\Gamma $. On dira que $E$ satisfait à l’inégalité de Haagerup s’il existe des constantes $C, s>0$ telles que, pour tout $f\in E$, la norme de convolution de $f$ sur $\ell ^{2}(\Gamma )$ soit dominée par $C$ fois la norme $\ell ^{2}$ de $f(1+L)^{s}$. Nous montrons que, pour $E={\bf C}\Gamma $, l’inégalité de Haagerup s’exprime en termes de décroissance des marches aléatoires associées à des mesures de probabilité symétriques à support fini sur $\Gamma $. Si $L$ est la longueur des mots sur un groupe $\Gamma $ de type fini, nous montrons que, si l’espace ${\rm Rad}_{L}(\Gamma )$ des fonctions radiales par rapport à $L$ satisfait à l’inégalité de Haagerup, alors $\Gamma $ est non moyennable si et seulement si $\Gamma $ est à croissance superexponentielle. Nous montrons aussi que l’inégalité de Haagerup pour ${\rm Rad}_{L}(\Gamma )$ a une interprétation purement combinatoire; en utilisant le résultat principal de l’article de J. Swiatkowski dans le même fascicule, nous déduisons que, pour un groupe $\Gamma $ opérant simplement transitivement sur les sommets d’un immeuble euclidien épais de type $\tilde{A}_{n}$, l’espace ${\rm Rad}_{L}(\Gamma )$ satisfait à l’inégalité de Haagerup, et $\Gamma $ est non moyennable.

Abstract

Let $\Gamma $ be a group endowed with a length function $L$, and let $E$ be a linear subspace of ${\bf C}\Gamma $. We say that $E$ satisfies the Haagerup inequality if there exists constants $C,s>0$ such that, for any $f\in E$, the convolutor norm of $f$ on $\ell ^{2}(\Gamma )$ is dominated by $C$ times the $\ell ^{2}$ norm of $f(1+L)^{s}$. We show that, for $E={\bf C}\Gamma $, the Haagerup inequality can be expressed in terms of decay of random walks associated with finitely supported symmetric probability measures on $\Gamma $. If $L$ is a word length function on a finitely generated group $\Gamma $, we show that, if the space ${\rm Rad}_{L}(\Gamma )$ of radial functions with respect to $L$ satisfies the Haagerup inequality, then $\Gamma $ is non-amenable if and only if $\Gamma $ has superpolynomial growth. We also show that the Haagerup inequality for ${\rm Rad}_{L}(\Gamma )$ has a purely combinatorial interpretation; thus, using the main result of the companion paper by J. Swiatkowski, we deduce that, for a group $\Gamma $ acting simply transitively on the vertices of a thick euclidean building of type $\tilde{A}_{n}$, the space ${\rm Rad}_{L}(\Gamma )$ satisfies the Haagerup inequality, and $\Gamma $ is non-amenable.

Détail

Publié le : 1997-01-01

MR 99f:43001 | Zbl 0886.51003 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1596

Bibliographie

[AO76] C.A Akemann and P.A. Ostrand, Computing norms in group C*-algebras, Amer. J. Math., 98 (1976), 1015-1047. | MR 56 #1079 | Zbl 0342.22008

[BB] W. Ballmann and M. Brin, Orbihedra of nonpositive curvature, to appear in Invent. Math. | Numdam | Zbl 0866.53029

[BH78] A. Borel and G. Harder, Existence of discrete co-compact subgroups of reductive groups over local fields, J. für reine und angew. Math., 298 (1978), 53-64. | MR 80b:22022 | Zbl 0385.14014

[CMSZ93] D. Cartwright, A. Mantero, T. Steger and A. Zappa, Groups acting simply transitively on the vertices of a building of type Ã2, Geometriae Dedicata, 47 (1993), 143-166. | MR 95b:20053 | Zbl 0784.51011

[CoS93] D. Cartwright, W. Miotkowski and T. Steger, Property (T) and Ã2 groups, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 44-1 (1993), 213-248. | Numdam | Zbl 0792.43002

[CS] D. Cartwright, T. Steger, A family of Ãn groups, preprint. | Zbl 0923.51010

[CM90] A. Connes and H. Moscovici, Cyclic cohomology, the Novikov conjecture and hyperbolic groups, Topology, 29 (1990), 345-388. | Zbl 0759.58047

[FFR95] S.C. Ferry, A. Ranicki and J. Rosenberg (eds.), Novikov conjectures, index theorems and rigidity, London Math. Soc. Lect. Note Ser. 226, Cambridge U.P., 1995. | Zbl 0954.57018

[GW71] D. Gromoll and J.A. Wolf, Some relations between the metric structure and the algebraic structure of the fundamental group in manifolds of nonpositive curvature, Bull. Amer. Math. Soc., 77 (1971), 545-552. | MR 43 #6841 | Zbl 0237.53037

[Haa79] U. Haagerup, An example of a non-nuclear C*-algebra which has the metric approximation property, Invent. Math., 50 (1979), 279-293. | MR 80j:46094 | Zbl 0408.46046

[dlH88] P. De La Harpe, Groupes hyperboliques, algèbres d'opérateurs, et un théorème de Jolissaint, C.R. Acad. Sci. Paris, Sér I, 307 (1988), 771-774. | Zbl 0653.46059

[dlHRV93] P. De La Harpe, A.G. Robertson and A. Valette, On the spectrum of the sum of generators of a finitely generated group, II, Colloquium Math., 65 (1993), 87-102. | MR 94j:22008 | Zbl 0846.46036

[dlHV89] P. De La Harpe and A. Valette, La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes localement compacts, Astérisque 175, Soc. Math. France, 1989.

[Jol90] P. Jolissaint, Rapidly decreasing functions in reduced C*-algebras of groups, Trans. amer. Math. Soc., 317 (1990), 167-196. | MR 90d:22006 | Zbl 0711.46054

[Jol89] P. Jolissaint, K-theory of reduced C*-algebras and rapidly decreasing functions on groups, K-theory, 2 (1989), 723-735. | MR 90j:22004 | Zbl 0692.46062

[Jol96] P. Jolissaint, An upper bound for the norms of powers of normalised adjacency operators, Pacific J. Math., 175, 432-436, 1996, Appendix to On spectra of simple random walks on one-relator groups, by P-A. Cherix and A. Valette. | Zbl 0865.60059

[JV91] P. Jolissaint and A. Valette, Normes de Sobolev et convoluteurs bornés sur L2(G), Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 41-4 (1991), 797-822. | Numdam | Zbl 0734.43002

[Kes59] H. Kesten, Symmetric random walks on groups, Trans. Amer. Math. Soc., 92 (1959), 336-354. | MR 22 #253 | Zbl 0092.33503

[Pan] P. Pansu, Formule de Matsushima, de Garland, et propriété (T) pour des groupes agissant sur des espaces symétriques ou des immeubles, Preprint Orsay, 1995.

[Pit] C. Pittet, Ends and isoperimetry, Preprint Neuchâtel, 1995.

[RRS] J. Ramagge, G. Robertson and T. Steger, A Haagerup inequality for Ã1 X Ã1 and Ã2 groups, Preprint, 1996. | Zbl 0906.43009

[Ron89] M. Ronan, Lectures on buildings, Academic Press, 1989. | MR 90j:20001 | Zbl 0694.51001

[Swi] J. Swiatkowski, On the loop inequality for euclidean buildings, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 47-4 (1997), 1175-1194. | Numdam | MR 2000a:57058 | Zbl 0886.51004

[Tit72] J. Tits, Free subgroups in linear groups, J. Algebra, 20 (1972), 250-270. | MR 44 #4105 | Zbl 0236.20032

[Tit86] J. Tits, Immeubles de type affine, in Buildings and the geometry of diagrams (L.A. Rosati, ed.), Lect. Notes in Math. 1181 (1986), Springer, 159-190. | MR 87h:20077 | Zbl 0611.20026

[VSCC92] N. Varopoulos, L. Saloff-Coste and T. Coulhon, Analysis and geometry on groups, Cambridge U.P., 1992. | MR 95f:43008 | Zbl 0813.22003

[Zuk96] A. Zuk, La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes agissant sur les polyèdres, C.R. Acad. Sci. Paris, 323 (1996), 453-458. | MR 97i:22001 | Zbl 0858.22007