The center of a graded connected Lie algebra is a nice ideal

Félix, Yves

Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996), p. 263-278 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $({\Bbb L}(V),d)$ une algèbre de Lie différentielle graduée définie sur le corps des nombres rationnels. Un idéal $I$ dans l’algèbre de Lie $H( {\Bbb L}(V),d)$ est dit gentil si pour tout cycle $\alpha \in {\Bbb L}(V)$ dont la classe appartient à $I,~I$ contient le noyau de l’application $H({\Bbb L}(V),d)\rightarrow H({\Bbb L}(V\oplus {\Bbb Q}x),d),~d(x)=\alpha $. Nous montrons que le centre de $H({\Bbb L}(V),d)$ est un gentil idéal et nous donnons dans ce cas des informations sur la structure de $H({\Bbb L}(V\oplus {\Bbb Q}x),d)$. Ceci est ensuite appliqué à l’étude de la structure de l’algèbre de Lie d’homotopie rationnelle $L_X=\pi _*(\Omega X)\oplus {\Bbb Q}$ d’un CW complexe simplement connexe $X$.

Abstract

Let $({\Bbb L}(V),d)$ be a free graded connected differential Lie algebra over the field ${\Bbb Q}$ of rational numbers. An ideal $I$ in the Lie algebra $H({\Bbb L}(V),d)$ is called nice if, for every cycle $\alpha \in {\Bbb L}(V)$ such that $[\alpha ]$ belongs to $I$, the kernel of the map $H({\Bbb L}(V),d) \rightarrow H({\Bbb L}(V\oplus {\Bbb Q}x),d)$, $d(x) = \alpha $, is contained in $I$. We show that the center of $H({\Bbb L}(V),d)$ is a nice ideal and we give in that case some informations on the structure of the Lie algebra $H({\Bbb L}(V\oplus {\Bbb Q}x),d)$. We apply this computation for the determination of the rational homotopy Lie algebra $L_X = \pi _*(\Omega X) \otimes {\Bbb Q}$ of a simply connected space $X$. We deduce that the kernel of the map $L_X \rightarrow L_Y$ induced by the attachment of a cell along an element in the center is contained in the center.

Détail

Publié le : 1996-01-01

MR 97d:55021 | Zbl 0836.55005

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1513

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