Zeta functions of Jordan algebras representations

Achab, Dehbia

Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995), p. 1283-1303 / Harvested from Numdam

Résumé

Ce travail porte sur une généralisation de la fonction zêta de Kœcher . Soient $V$ une algèbre de Jordan simple euclidienne de dimension $n$ et de rang $m,\,E$ un espace euclidien de dimension $N$, $\phi $ une représentation auto-adjointe régulière de $V$ dans $E$, $Q$ la forme quadratique vectorielle associée à $\phi $, $\Omega $ le cône symétrique associé à $V$, et $G(\Omega )$ son groupe d’automorphismes

G(Ω)={g∈GL(V)|g(Ω)=Ω}.

($H_1$) On suppose que $V$ et $E$ admettent des ${\bf Q}$-structures $V_{{\bf Q}}$ et $E_{{\bf Q}}$ respectivement et $\phi $ est définie sur ${\bf Q}$. Soit $L$ un réseau dans $E_{{\bf Q}}$. La série zêta associée à $\phi $ et $L$ est définie par

ζL(s)=∑l∈Γ∘∖L′[ det (Q(l))]-s,∀s∈C

où $L^{\prime }=\lbrace l\in L\vert {\rm det}(Q(l))\ne 0\rbrace $, $\Gamma _\circ $ est un certain sous-groupe arithmétique de $GL(E)$. ($H_2$) On suppose que $V_{{\bf Q}}$ est déployée, i.e. son rang est égal à son rang primitif. Les résultats fondamentaux sont : 1. Sous les hypothèses ($H_1$) et ($H_2$) et à l’aide de la théorie de la réduction de Borel (ensembles de Siegel), on montre que la série zêta $\zeta _L(s)$ converge absolument pour ${\rm Re}\,(s)>{N\over 2m}$. 2. $\zeta _L$ admet un prolongement analytique en tant que fonction méromorphe sur tout le plan ${\bf C}$ et vérifie une équation fonctionnelle similaire à celle de la fonction zêta de Riemann.

Abstract

This work is about a generalization of Kœcher’s zeta function. Let $V$ be an Euclidean simple Jordan algebra of dimension $n$ and rank $m$, $E$ an Euclidean space of dimension $N$, $\phi $ a regular self-adjoint representation of $V$ in $E$, $Q$ the quadratic form associated to $\phi $, $\Omega $ the symmetric cone associated to $V$ and $G(\Omega )$ its automorphism group

G(Ω)={g∈GL(V)|g(Ω)=Ω}.

($H_1$) Assume that $V$ and $E$ have ${\bf Q}$-structures $V_{{\bf Q}}$ and $E_{{\bf Q}}$ respectively and $\phi $ is defined over ${\bf Q}$. Let $L$ be a lattice in $E_{{\bf Q}}$. The zeta series associated to $\phi $ and $L$ is defined by

ζL(s)=∑l∈Γ∘∖L′[ det (Q(l))]-s,∀s∈C

where $L^{\prime }=\lbrace l\in L\vert {\rm det}(Q(l))\ne 0\rbrace $, $\Gamma _\circ $ is some arithmetic subgroup of $GL(E)$. ($H_2$) Assume that $V_{{\bf Q}}$ is split, which means that its rank equals its primitive rank. The fundamental results are: 1. Under the assumptions ($H_1$) and ($H_2$) and using reduction theory (Siegel sets), we show that the zeta series $\zeta _L(s)$ converges absolutely for ${\rm Re}\,(s)>{N\over 2m}$. 2. $\zeta _L$ admits an analytic continuation as a meromorphic function on the whole plane ${\bf C}$ and satisfies to a functional equation similar to that of Riemann’s zeta function.

Détail

Publié le : 1995-01-01

MR 96k:11108 | Zbl 0843.11042

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1496

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