Ce travail porte sur une généralisation de la fonction zêta de Kœcher . Soient une algèbre de Jordan simple euclidienne de dimension et de rang un espace euclidien de dimension , une représentation auto-adjointe régulière de dans , la forme quadratique vectorielle associée à , le cône symétrique associé à , et son groupe d’automorphismes
() On suppose que et admettent des -structures et respectivement et est définie sur . Soit un réseau dans . La série zêta associée à et est définie par
où , est un certain sous-groupe arithmétique de . () On suppose que est déployée, i.e. son rang est égal à son rang primitif. Les résultats fondamentaux sont : 1. Sous les hypothèses () et () et à l’aide de la théorie de la réduction de Borel (ensembles de Siegel), on montre que la série zêta converge absolument pour . 2. admet un prolongement analytique en tant que fonction méromorphe sur tout le plan et vérifie une équation fonctionnelle similaire à celle de la fonction zêta de Riemann.
This work is about a generalization of Kœcher’s zeta function. Let be an Euclidean simple Jordan algebra of dimension and rank , an Euclidean space of dimension , a regular self-adjoint representation of in , the quadratic form associated to , the symmetric cone associated to and its automorphism group
() Assume that and have -structures and respectively and is defined over . Let be a lattice in . The zeta series associated to and is defined by
where , is some arithmetic subgroup of . () Assume that is split, which means that its rank equals its primitive rank. The fundamental results are: 1. Under the assumptions () and () and using reduction theory (Siegel sets), we show that the zeta series converges absolutely for . 2. admits an analytic continuation as a meromorphic function on the whole plane and satisfies to a functional equation similar to that of Riemann’s zeta function.
@article{AIF_1995__45_5_1283_0, author = {Achab, Dehbia}, title = {Zeta functions of Jordan algebras representations}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, volume = {45}, year = {1995}, pages = {1283-1303}, doi = {10.5802/aif.1496}, mrnumber = {96k:11108}, zbl = {0843.11042}, language = {en}, url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_1995__45_5_1283_0} }
Achab, Dehbia. Zeta functions of Jordan algebras representations. Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) pp. 1283-1303. doi : 10.5802/aif.1496. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1995__45_5_1283_0/
[1] Représentations des algèbres de Jordan de rang 2 et fonctions zeta associées, Annales de l'Institut Fourier, Grenoble, 45-2 (1995), 437-451. | Numdam | MR 96h:11088 | Zbl 0824.11054
,[2] Dirichlet Series Corresponding to Siegel's Modular Forms, Math. Ann., 238 (1978), 157-173. | MR 80c:10026 | Zbl 0373.10017
,[3] Smooth compactifications of locally symmetric varieties. Lie groups : History, frontiers and applications, Math. Sci. Press, 1975. | Zbl 0334.14007
, , et ,[4] Introduction aux groupes arithmétiques, Hermann, Paris, 1969. | MR 39 #5577 | Zbl 0186.33202
,[5] Linear algebraic groups. Second Enlarged Edition, Springer-Verlag, 1991. | MR 92d:20001 | Zbl 0726.20030
,[6] Density and maximality of arithmetic subgroups, J. Reine Angw. Math., 224 (1966), 78-89. | MR 34 #5824 | Zbl 0158.03105
,[7] Jordan-Algebren, Springer, 1966. | Zbl 0145.26001
et ,[8] Représentations d'une algèbre de Jordan, polynômes invariants et harmoniques de Stiefel, J. Reine Angw. Math., 423 (1992), 47-71. | Zbl 0749.17042
,[9] Analysis on symmetric cones, Oxford University Press, 1994. | MR 98g:17031 | Zbl 0841.43002
et ,[10] Uber Dirichlet-Reihen mit Funktionalgleichung, J. Reine Angw. Math., 192 (1953), 1-23. | MR 15,290a | Zbl 0053.05501
,[11] Kcher-Maass-Series for Modular Forms of Quaternions, Manuscripta Math., 66 (1990), 431-451. | MR 91b:11062 | Zbl 0698.10019
,[12] Modular Forms on Half-Spaces of Quaternions, Springer-Verlag, 1980.
,[13] Siegel's Modular Forms and Dirichlet Series, Lect. Notes in Math. 216, Springer-Verlag, 1971. | MR 49 #8938 | Zbl 0224.10028
,[14] On zeta functions associated with prehomogeneous vector spaces, Ann. of Math., 100 (1974), 131-170. | MR 49 #8969 | Zbl 0309.10014
et ,[15] private communication.
,