Le résultat principal de cet article implique que si une variété abélienne définie sur un corps a un sous-groupe isotropique maximal dont les points d’ordre sont définis sur , et , alors la variété abélienne a une réduction semi-stable en dehors de . Ce résultat peut être considéré comme une extension du théorème de Raynaud que si une variété abélienne a tous ses points d’ordre définis sur avec , alors la variété abélienne a une réduction semi-stable en dehors de . Nous donnons aussi des renseignements sur les modèles de Néron dans les cas où ou 4.
The main result of this paper implies that if an abelian variety over a field has a maximal isotropic subgroup of -torsion points all of which are defined over , and , then the abelian variety has semistable reduction away from . This result can be viewed as an extension of Raynaud’s theorem that if an abelian variety and all its -torsion points are defined over a field and , then the abelian variety has semistable reduction away from . We also give information about the Néron models in the cases where and 4.
@article{AIF_1995__45_2_403_0,
author = {Silverberg, Alice and Zarhin, Yuri G.},
title = {Semistable reduction and torsion subgroups of abelian varieties},
journal = {Annales de l'Institut Fourier},
volume = {45},
year = {1995},
pages = {403-420},
doi = {10.5802/aif.1459},
mrnumber = {96h:11057},
zbl = {0818.14017},
language = {en},
url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_1995__45_2_403_0}
}
Silverberg, Alice; Zarhin, Yuri G. Semistable reduction and torsion subgroups of abelian varieties. Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) pp. 403-420. doi : 10.5802/aif.1459. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1995__45_2_403_0/
[1] and , eds., Modular functions of one variable IV, Lecture Notes in Math. 476, Springer, New York, 1975, pp. 74-144. | Zbl 0315.14014
[2] , , , Néron models, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1990. | Zbl 0705.14001
[3] , Néron models and tame ramification, Comp. Math., 81 (1992), 291-306. | Numdam | MR 93a:14041 | Zbl 0759.14033
[4] and , Sur les points de torsion des courbes elliptiques, Astérisque, Société Math. de France, 183 (1990), 25-36. | MR 91g:11057 | Zbl 0737.14004
[5] , Some remarks concerning points of finite order on elliptic curves over global fields, Ark. Mat., 15 (1977), 1-19. | MR 56 #15649 | Zbl 0348.14018
[6] , Local fields, in Algebraic Number Theory, J. W. S. Cassels and A. Fröhlich, eds., Thompson Book Company, Washington, 1967, pp. 1-41.
[7] , Modèles de Néron et monodromie, in Groupes de monodromie en géometrie algébrique, SGA7 I, A. Grothendieck, ed., Lecture Notes in Math. 288, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1972, pp. 313-523. | MR 50 #7134 | Zbl 0248.14006
[8] and , Abelian varieties having purely additive reduction, J. Pure and Applied Algebra, 36 (1985), 281-298. | MR 86e:14020 | Zbl 0557.14022
[9] , On the group of components of a Néron model, J. reine angew. Math., 445 (1993), 109-160. | MR 94k:11065 | Zbl 0781.14029
[10] , Gesammelte Abhandlungen, Bd. I, Leipzig, 1911, pp. 212-218 (Zur Theorie der positiven quadratischen Formen, J. reine angew. Math., 101 (1887), 196-202). | JFM 19.0189.01
[11] , Abelian varieties, Second Edition, Tata Lecture Notes, Oxford University Press, London, 1974.
[12] , Tata Lectures on Theta II, Progress in Mathematics 43, Birkhäuser, Boston-Basel-Stuttgart, 1984. | Zbl 0549.14014
[13] , Rigidité du foncteur de Jacobi d'echelon n ≥ 3, Appendix to A. Grothendieck, Techniques de construction en géométrie analytique, X. Construction de l'espace de Teichmüller, Séminaire Henri Cartan, 1960/1961, no. 17.
[14] and , Good reduction of abelian varieties, Ann. of Math., 88 (1968), 492-517. | MR 38 #4488 | Zbl 0172.46101
[15] and , Isogenies of abelian varieties, J. Pure and Applied Algebra, 90 (1993), 23-37. | MR 94j:14040 | Zbl 0832.14034
[16] , The Néron fiber of abelian varieties with potential good reduction, Math. Ann., 264 (1983), 1-3. | MR 85b:14059 | Zbl 0497.14016
[17] , Variétés abéliennes et courbes algébriques, Hermann, Paris, 1948. | MR 10,621d | Zbl 0037.16202