Régularité conormale classique des problèmes de Cauchy et de réflexion transverse pour un système $2\times 2$ semi-linéaire

Nadir, B. ; Varenne, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990), p. 849-866 / Harvested from Numdam

Résumé

On considère un système semi-linéaire du premier ordre de taille $2\times 2$ dans un ouvert de ${\Bbb R}^n$, une hypersurface $S$ non caractéristique et une hypersurface $\Gamma $ de $S$. On suppose que, par $\Gamma $, passent deux hypersurfaces caractéristiques $\Sigma _1$, $\Sigma _2$ transverses et que les bicaractéristiqiues sur $\Sigma _1$, $\Sigma _2$ sont transverses à $\Gamma $. Soit $u$ une solution dans une demi-région $\Omega $ délimitée par $\sigma $. On suppose que $u$ est la restriction à $\Omega $ d’une distribution conormale par morceaux par rapport à $\Sigma _1$, $\Sigma _2$. Pour le problème de Cauchy, on montre que si la trace de $u$ sur $S$ est classique par rapport à $\Gamma $, alors $u$ est classique par rapport à $\Sigma _1$, $\Sigma _2$. Pour le problème de Cauchy, on montre que si la trace de $u$ sur $S$ est classique par rapport à $\Gamma $, alors $u$ est classique par rapport $\Sigma _1$, $\Sigma _2$. Pour le problème aux limites hyperbolique à données au bord sur $S$ vérifiant la condition de Lopatinski uniforme, on montre que si cette donnée est classique par rapport à $\Gamma $ et si $u$ est classique par rapport à $\Sigma _1$, supposée sortante, alors $u$ est classique par rapport à l’hypersurface (réfléchie) $\Sigma _2$.

Abstract

We consider a first order semilinear two by two system in an open set of ${\Bbb R}^n$, a non-characteristic hypersurface $S$ and an hypersurface $\Gamma $ of $S$. We suppose that through $\Gamma $, there are exactly two characteristic transversal hypersurfaces $\Sigma _1$, $\Sigma _2$ and that the bicharacteristics on $\Sigma _1$, $\Sigma _2$are transversal to $\Gamma $. We suppose that $u$ is a solution in $\Omega $, one of the two half-spaces delimited by $S$ and that $u$ is the restriction of $\Omega $ to a piecewise conormal distribution relatively to $\Sigma _1$, $\Sigma _2$. For the Cauchy problem, we show that if the trace of $u$ on $S$ is classical relatively to $\Gamma $, so $u$ is classical relatively to $\Sigma _1$ and $\Sigma _2$. For the boundary value hyperbolic problem with boundary condition on $S$, satisfying uniform Lopatinski condition, we show that if the boundary condition is classical relatively to $\Gamma $ and if $u$ is classical relatively to $\Sigma _1$, supposed outgoing, then $u$ is classical relatively to the reflected hypersurface $\Sigma _2$.

Détail

Publié le : 1990-01-01

MR 92m:35166 | Zbl 0702.35040

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1238

Bibliographie

[1] J.-M. Bony, Interaction de singularités pour des équations aux dérivées partielles non linéaires, Séminaire Goulaouic-Meyer-Schwartz 22, 1979-1980 et 2, 1981-1982. | Numdam | Zbl 0449.35006

[2] J. Chazarain et A. Piriou, Introduction à la théorie des équations aux dérivées partielles, Gauthier-Villars, Paris, 1981. | MR 82i:35001 | Zbl 0446.35001

[3] L. Hormander, The Analysis of linear partial differential operators, III, Springer-Verlag, 1985. | Zbl 0601.35001

[4] B. Nadir et A. Piriou, Ondes semi-linéaires conormales par rapport à deux hypersurfaces transverses, Duke Math. J., 58 (1989), 577-599. | MR 90i:35175 | Zbl 0688.35013

[5] B. Nadir et J.-P. Varenne, C. R. Académie des Sciences de Paris, t. 309, série I, (1989), 817-820.

[6] A. Piriou, Calcul symbolique non linéaire pour une onde conormale simple, Ann. Inst. Fourier, tome XXXVIII, fascicule 4 (1988), 173-187. | Numdam | MR 90c:35209 | Zbl 0646.35012

[7] A. Piriou et J.-P. Varenne, Ondes semi-linéaires discontinues conormales par morceaux, Note aux C.R.A.S. de Paris, t. 311, série I (1990), 607-610. | MR 91j:35165 | Zbl 0717.35050

[8] J. Rauch et M. Reed, Discontinuous Progressing Waves for Semilinear Systems, Comm. in Partial Differential Equations, 10 (9) (1985), 1033-1075. | MR 87g:35146 | Zbl 0598.35069

[9] J. Rauch et M. Reed, Propagation of Equality and classicality for conormal solution of semilinear systems, Comm. in Partial Differential Equations, 13, n° 10 (1988). | MR 91k:35153 | Zbl 0665.35046