On the classgroups of imaginary abelian fields

Solomon, David

Solomon, David

Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990), p. 467-492 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soit $p$ un nombre premier impair, soit $χ$ un caractère impair de Dirichlet $p$ -adique et soit $K$ l’extension cyclique imaginaire de $Q$ associée à $χ$ . On définit une “ $χ$ -partie” du $p$ -sous-groupe de Sylow du groupe de classe de $K$ et on démontre un résultat établissant un lien entre sa $p$ -divisibilité et celle du nombre de Bernoulli généralisé $B_{1, χ^{- 1}}$ . On utilise les résultats de Mazur et Wiles de la Théorie d’Iwasawa sur $Q$ . Nous nous intéressons principalement au cas plus difficile où $p$ divise l’ordre de $χ$ . Dans cette situation le résultat est nouveau et confirme une conjecture de G. Gras.

Let $p$ be an odd prime, $χ$ an odd, $p$ -adic Dirichlet character and $K$ the cyclic imaginary extension of $Q$ associated to $χ$ . We define a “ $χ$ -part” of the Sylow $p$ -subgroup of the class group of $K$ and prove a result relating its $p$ -divisibility to that of the generalized Bernoulli number $B_{1, χ^{- 1}}$ . This uses the results of Mazur and Wiles in Iwasawa theory over $Q$ . The more difficult case, in which $p$ divides the order of $χ$ is our chief concern. In this case the result is new and confirms an earlier conjecture of G. Gras.

Publié le : 1990-01-01

MR 92a:11133 | Zbl 0694.12004 | 2 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1221

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Solomon, David. On the classgroups of imaginary abelian fields. Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990) pp. 467-492. doi : 10.5802/aif.1221. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1990__40_3_467_0/

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