Espaces de Sobolev gaussiens

Feyel, Denis; La Pradelle, A. de

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989), p. 875-908 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soit $μ$ une mesure gaussienne sur un espace localement convexe $E$ . On donne un nouveau point de vue sur le premier espace de Sobolev $W (E, μ)$ construit sur $E$ et $μ$ . La différentielle $f^{'}$ de $f \in W (E, μ)$ est une fonction de deux variables $(x, y) \in E \times E$ , “quasi-linéaire” dans la seconde variable.

La différentielle d’une intégrale stochastique est une intégrale stochastique sur $E \times E$ muni de $μ \times μ$ .

On montre que la “procapacité gaussienne” naturelle est une vraie capacité si $E$ est un espace de Banach ou de Fréchet ou le dual faible d’un espace de Fréchet séparable et nucléaire.

On montre aussi que toute $f \in W (E, μ)$ vaut $μ$ -presque partout une fonction quasi-continue, et que tous ses représentants quasi-continus sont absolument continus sur presque toute droite parallèle à une direction de Cameron-Martin.

Let $μ$ be a gaussian measure on a locally convex linear space $E$ . We give a new point of view on the first Sobolev space $W (E, μ)$ built on $E$ with respect to $μ$ . The differential $f^{'}$ of $f \in W (E, μ)$ is a function of two variables $(x, y) \in E \times E$ , which is “quasi-linear” in the second variable.

The differential of a stochastic integral is a stochastic integral on $E \times E$ with respect to $μ \otimes μ .$

The natural “gaussian procapacity” is a true capacity if $E$ is a Banach or a Frechet space or the weak dual of a separable Frechet nuclear space.

Any $f \in W (E, μ)$ is equal $μ$ -almost everywhere to a quasi-continuous function $g$ , moreover any such $g$ has for any Cameron-Martin direction the absolute continuity property in almost every line parallel to this direction.

Publié le : 1989-01-01

MR 91e:60183 | Zbl 0664.46028 | 2 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1193

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Feyel, Denis; La Pradelle, A. de. Espaces de Sobolev gaussiens. Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) pp. 875-908. doi : 10.5802/aif.1193. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1989__39_4_875_0/

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