Groupe de Picard des variétés de modules de faisceaux semi-stables sur ${\mathbb {P}}_2({\mathbb {C}})$

Drezet, Jean-Marc

Annales de l'Institut Fourier, Tome 38 (1988), p. 105-168 / Harvested from Numdam

Résumé

Le sujet de cet article est le groupe de Picard de la variété de modules $M(r,c_1,c_2)$ des faisceaux algébriques semi-stables de rang $r$ et de classes de Chern $c_1,c_2$ sur ${\bf P}_2({\bf C})$. Le premier résultat est que $M(r,c_1,c_2)$ est localement factorielle, ce qui permet d’identifier Pic$(M(r,c_ 1,c_ 2))$ et le groupe des classes d’équivalence linéaire des diviseurs de Weil de $M(r,c_1,c_2)) $. Il existe une unique application $\delta :{\bf Q} \rightarrow {\bf Q}$ telle que dim$(M(r,c_1,c_2)) >0$ si et seulement si $(c_2-(r-1)c^2_1/2r)/r > \delta (c_1/r)$. Si on a égalité, Pic$(M(r,c_1,c_2))$ est isomorphe à ${\bf Z}$, et si l’inégalité est stricte, Pic$(M(r,c_1,c_2))$ est isomorphe à ${\bf Z}^2$. On donne ensuite une description de Pic$(M(r,c_1,c_2))$ faisant intervenir un sous-groupe du groupe de Grothendieck $K({\bf P}_2)$ de ${\bf P}_2$. On peut enfin calculer le fibré canonique $\omega _M$ de $M(c_1,c_2)$.

Abstract

The subject of this paper is the Picard group of the moduli variety $M(r,c_ 1,c_ 2)$ of semi-stable algebraic sheaves on ${\bf P}_ 2({\bf C})$, of $rank\ r$ and Chern classes $c_ 1, c_ 2$. The first result is that if $M(r,c_ 1,c_ 2)$ is locally factorial, so Pic$(M(r,c_ 1,c_ 2))$ is isomorphic to the group of linear equivalence classes of Weil divisors of $M(r,c_ 1,c_ 2)$. There is a unique map $\delta : {\bf Q}\rightarrow {\bf Q}$ such that $\dim (M(r,c_ 1,c_ 2))>0$ if and only if $(c_ 2-(r-1)c^ 2_ 1/2r)/r\ge \delta (c_ 1/r)$. Then if one has equality, ${\rm Pic}(M(r,c_ 1,c_ 2))$ is isomorphic to ${\bf Z}$, and if the inequality is strict, $Pic(M(r,c_ 1,c_ 2))$ is isomorphic to ${\bf Z}^ 2$. A description of ${\rm Pic}(M(r,c_ 1,c_ 2))$ is given, using a subgroup of the Grothendieck group $K({\bf P}_ 2)$ of ${\bf P}_ 2$. It is then possible to compute the canonical bundle $\omega _ M$ of $M(r,c_ 1,c_ 2)$.

Détail

Publié le : 1988-01-01

MR 89m:14007 | Zbl 0616.14006 | 4 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1143

Bibliographie

[1] W. Barth, Moduli of vector bundles on the projective plane, Invent. Math., 42 (1977), 63-91. | MR 57 #324 | Zbl 0386.14005

[2] A.A. Beilinson, Coherent sheaves on Pn and problems of linear algebra, Funkt. Anal. i Ego Pril., vol. 12, No 3 (1978), 68-69. | Zbl 0402.14006

[3] A. Borel, J.P. Serre, Le théorème de Riemann-Roch, Bull. Soc. Math. de France, 86 (1858), 97-136. | Numdam | Zbl 0091.33004

[4] E. Brieskorn, Uber holomorphe Pn-Bündel über P1, Math, Ann., 157 (1967), 343-357. | MR 37 #5897 | Zbl 0128.17003

[5] J. Brun, A. Hirschowitz, Droites de saut des fibrés de rang élevé sur P2, Math, Zeits., 181 (1982), 171-178. | MR 84a:14007 | Zbl 0473.14005

[6] J.M. Drezet, Fibrés exceptionnels et variétés de modules de faisceaux semi-stables sur P2 (C), Preprint, 1985.

[7] J.M. Drezet, J. Le Potier, Fibrés stables et fibrés exceptionnels sur P2, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 18 (1985), 193-244. | Numdam | MR 87e:14014 | Zbl 0586.14007

[8] G. Ellingsrud, Sur l'irréductibilité du module des fibrés stables sur P2, Math. Zeits., 182 (1983), 189-192. | MR 84h:14021 | Zbl 0526.14003

[9] G. Ellingsrud, S.A. Strømme, The Picard group of the moduli for stable rank 2 vector bundles on P2 with odd Chern class, Preprint, Oslo, 1979.

[10] W. Fulton, Intersection theory, Springer Verlag, 1984. | MR 85k:14004 | Zbl 0541.14005

[11] D. Gieseker, On the moduli of vector bundles on an algebraic surface, Ann. of Math., 106 (1977), 45-60. | MR 81h:14014 | Zbl 0381.14003

[12] A. Grothendieck, Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann, Amer. J. of Math., 79 (1957), 121-138. | MR 19,315b | Zbl 0079.17001

[13] R. Hartshorne, Algebraic geometry, Grad. Texts in Math., 52, Springer-Verlag, 1977. | MR 57 #3116 | Zbl 0367.14001

[14] A. Hirschowitz, Rank techniques and jump stratifications. Actes du congrès “Vector Bundles on Algebraic Varieties” Bombay, 1984. | Zbl 0682.14009

[15] G. Horrocks, Vector bundles on the punctured spectrum of a local ring, Proc. London Math. Soc., 14 (1964), 689-713. | MR 30 #120 | Zbl 0126.16801

[16] K. Hulek, On the classification of stable rank-r vector bundles over the projective plane. In : Vector bundles and differential equations (A. Hirschowitz ed.). Proceedings (Nice 1979), Progress in Math., 7, Birkhäuser, 1980. | Zbl 0446.14006

[17] J. Le Potier, Sur le groupe de Picard de l'espace de modules de fibrés stables sur P2, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 14 (1981), 141-155. | Numdam | MR 83a:14018 | Zbl 0482.14006

[18] J. Le Potier, Fibrés stables de rang 2 sur P2(C), Math. Ann., 241 (1979), 217-256. | MR 80m:14012 | Zbl 0405.14008

[19] M. Maruyama, Moduli of stable sheaves II, J. Math. Kyoto Univ., 18 (1978), 557-614. | MR 82h:14011 | Zbl 0395.14006

[20] H. Matsumura, Commutative algebra, W.A. Benjamin Co., New York, 1980. | MR 82i:13003 | Zbl 0441.13001

[21] D. Mumford, J. Fogarty, Geometric Invariant Theory, Erg. der Math. und ihre Grenzg., 34, Springer-Verlag, 1982. | MR 86a:14006 | Zbl 0504.14008

[22] P.E. Newstead, Introduction to moduli problems and orbit spaces, Tata Inst., Lect. Notes, 51, Springer-Verlag, 1978. | MR 81k:14002 | Zbl 0411.14003

[23] P.E. Newstead, Rationality of moduli spaces of vector bundles, Math. Ann., 215 (1975), 251-268. | MR 54 #7468 | Zbl 0288.14003

[24] C.S. Seshadri, Mumford's conjecture for GL(2) and applications, Alg. Geom., Bombay Coll., (1968-1969), 347-371. | MR 41 #6858 | Zbl 0194.51702

[25] S.A. Strømme, Ample divisors on fine moduli spaces on the projective plane, Math. Zeits., 187 (1984), 405-423. | MR 85i:14004 | Zbl 0533.14006