Le complexe de Koszul en algèbre et topologie
Halperin, Stephen
Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987), p. 77-97 / Harvested from Numdam
Access to full text
Full (PDF)
Full (DJVU)

The Koszul complex, as introduced in 1950, was a differential graded algebra which modelled a principal fibre bundle. Since then it has been an effective tool, both in algebra and in topology, for the calculation of homological and homotopical invariants. After a partial summary of these results we recall more recent generalizations of this complex, and some applications.

Le complexe de Koszul, introduit en 1950, était une algèbre différentielle graduée qui servait comme modèle pour un fibré principal. Il a servi depuis, en algèbre et en topologie, comme outil efficace pour le calcul d’invariants homologiques et homotopiques. Après un résumé partiel de ces résultats, on rappelle des généralisations plus récentes de ce complexe et des applications

@article{AIF_1987__37_4_77_0,
     author = {Halperin, Stephen},
     title = {Le complexe de Koszul en alg\`ebre et topologie},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     volume = {37},
     year = {1987},
     pages = {77-97},
     doi = {10.5802/aif.1112},
     mrnumber = {89d:55040},
     zbl = {0625.57022},
     language = {fr},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_1987__37_4_77_0}
}

Halperin, Stephen. Le complexe de Koszul en algèbre et topologie. Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987) pp. 77-97. doi : 10.5802/aif.1112. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1987__37_4_77_0/

[1] M. André, Cohomologie des algèbres différentielles où opère une algèbre de Lie, Tohoku Math. J., 14 (1962), 263-311. | MR 26 #2549 | Zbl 0201.36002

[2] P. Andrews and M. Arkowitz, Sullivan's minimal models and higher order Whitehead products, Canad. J. Math., 30 (1978), 961-982. | MR 80b:55008 | Zbl 0441.55012

[3] E. F. Assmus, On the homology of local rings, Ill. J. Math., 3 (1959), 187-199. | MR 21 #2670 | Zbl 0085.02401

[4] M. Auslander and D. A. Buchsbaum, Codimension and multiplicity, Annals of Math., 68 (1958), 625-657. | MR 20 #6414 | Zbl 0092.03902

[5] L. Avramov and E. S. Golod, On the homology of the Koszul complex of a local Gorenstein ring, Mat. Zametki, 19 (1971), 53-58 ; English translation : Math. Notes, 9 (1971), 30-32. | Zbl 0222.13014

[6] L. Avramov, S. Strogolov et A. Todorov, On Gorenstein modules, Uspehi Math. Nauk, 27, no. 4 (1972), 199-200. | Zbl 0239.13015

[7] L. Avramov, On the Hopf algebra of a local ring, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 38 (1974), 2 ; English Translation Math. USSR Izvestijas, 8 (1984), 259-284. | Zbl 0299.13011

[8] L. Avramov, Local algebra and rational homotopy, in Homotopie Algébrique et Algèbre Locale, Astérisque, 113/114 (1984), 15-43. | MR 85j:55021 | Zbl 0552.13003

[9] H. Bass, On the ubiquity of Gorenstein rings, Math. Zeit., 82 (1963), 8-28. | MR 27 #3669 | Zbl 0112.26604

[10] H. Cartan and S. Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press, 1956. | MR 17,1040e | Zbl 0075.24305

[11] E. Cartan, Sur les invariants intégraux de certains espaces homogènes et les propriétés topologiques de ces espaces, Ann. Soc. Pol. Math., 8 (1929), 181-225. | JFM 56.0371.02

[12] H. Cartan, La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibré principal, Colloque de Topologie (espaces fibrés) Bruxelles (1950), 57-72. G. Thone, Liège. | MR 13,107f | Zbl 0045.30701

[13] I. S. Cohen, On the structure and ideal theory of complete local rings, Trans. Amer. Math. Soc., 59 (1946), 54-106. | MR 7,509h | Zbl 0060.07001

[14] Y. Félix and S. Halperin, Rational LS category and its applications, Trans. Amer. Math. Soc., 273 (1982), 1-38. | MR 84h:55011 | Zbl 0508.55004

[15] Y. Félix, S. Halperin, C. Jacobsson, C. Löfwall and J.-C. Thomas, The radical of the homotopy Lie algebra, à paraître, Amer. J. Math. | Zbl 0654.55011

[16] W. Greub, S. Halperin, R. Vanstone, Connections, Curvature and Cohomology, Volume III, Academie Press N.Y., 1976. | MR 53 #4110 | Zbl 0372.57001

[17] T. H. Gulliksen, A proof of the existence of minimal R-algebra resolutions, Acta Math., 120 (1968), 53-58. | MR 37 #206 | Zbl 0157.34603

[18] T. H. Gulliksen and G. Levin, Homology of Local Rings, Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics No. 20, Queen's University, Kingston, Canada, 1969. | MR 41 #6837 | Zbl 0208.30304

[19] S. Halperin, The non-vanishing of the deviations of a local ring, à paraître, Comment. Math. Helv., 62 (1987). | MR 89d:13015 | Zbl 0639.13011

[20] H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfeltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen, Annals of Math., 42 (1941), 22-52. | JFM 67.0747.01 | MR 3,61b | Zbl 0025.09303

[21] J. L. Koszul, Homologie et cohomologie des algèbres de Lie, Bull. Soc. Math. de France, 78 (1950), 65-127. | Numdam | MR 12,120g | Zbl 0039.02901

[22] J. L. Koszul, Sur un type d'algèbres différentielles en rapport avec la transgression, Colloque de Topologie (espaces fibrés) Bruxelles (1950), 73-82, G. Thone, Liège. | MR 13,109a | Zbl 0045.30801

[23] D. Quillen, Rational homotopy theory, Annals of Math., 90 (1969), 205-295. | MR 41 #2678 | Zbl 0191.53702

[24] M. Sakuma and H. Okuyama, A note on higher deflections of a local ring, J. of Math., Tokushima University, 3 (1969), 25-36. | MR 41 #3468 | Zbl 0204.06102

[25] H. Samelson, Beitrage zur Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten, Annals of Math., 42 (1941), 1091-1137. | Zbl 0063.06680

[26] J. P. Serre, Algèbre Local Multiplicités, Lecture Notes in Math., 11, Springer Verlag, 3e édition 1975. | Zbl 0296.13018

[27] D. Sullivan, Infinitesimal computations in topology, Publ. Math. I.H.E.S., 47 (1978), 269-331. | Numdam | MR 58 #31119 | Zbl 0374.57002

[28] J. Tate, Homology of Noetherian rings and local rings, Ill. J. Math., 1 (1957), 14-25. | MR 19,119b | Zbl 0079.05501

[29] H. Wiebe, Uber homologische Invarianten lokaler Ringe, Math. Annalen, 179 (1969), 257-274. | MR 41 #192 | Zbl 0169.05701