Surfaces incompressibles dans les variétés obtenues par chirurgie longitudinale le long d’un noeud de $S^3$

Domergue, Michel; Short, H.

Surfaces incompressibles dans les variétés obtenues par chirurgie longitudinale le long d’un noeud de

S^{3}

Domergue, Michel ; Short, H.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987), p. 223-238 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Nous donnons une condition, le type $𝒞$ , sur un nœud $k$ de $S^{3}$ pour qu’une surface de Seifert incompressible de $k$ donne naissance à une surface fermée incompressible dans la variété $M$ obtenue par chirurgie de Dehn longitudinale à partir de $k$ ; l’existence d’une telle surface assure l’irréductibilité de $M$ . La variété $M$ , homologiquement équivalente à $S^{1} \times S^{2}$ , n’est donc pas $S^{1} \times S^{2}$ .

Nous définissons une condition, le type $𝒯$ , sur un nœud $k$ de $S^{3}$ pour qu’une surface fermée incompressible dans $S^{3}$ - $k$ reste incompressible dans les variétés obtenues par chirurgie le long des courbes périphériques enlaçant le nœud $k$ au moins deux fois. (Ces variétés sont homologiquement équivalentes aux espaces lenticulaires distincts de $S^{3}$ ou $S^{1} \times S^{2}$ .) Par définition, nous verrons que tout nœud de $S^{3}$ est de type $𝒞$ ou de type $𝒯$ .

A condition, of type $𝒞$ , is given on a knot $k$ in $S^{3}$ , so that an incompressible Seifert surface of $k$ produces a closed incompressible surface in the manifold $M$ , obtained by longitudinal Dehn surgery on $k$ ; existence of such surface insures the irreductibility of $M$ . The manifold $M$ , homologically equivalent to $S^{1} \times S^{2}$ .

A condition, of type $𝒯$ , is given on a knot $k$ in $S^{3}$ , so that a closed incompressible surface in $S^{3}$ - $k$ remains incompressible after longitudinal surgeries on peripheral curves, the linking number with $k$ being at least 2. These manifolds are homologically equivalent to lens spaces, which are distinct from $S^{3}$ or $S^{1} \times S^{2}$ .

Publié le : 1987-01-01

MR 88m:57005 | Zbl 0607.57010

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1093

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Domergue, Michel; Short, H. Surfaces incompressibles dans les variétés obtenues par chirurgie longitudinale le long d’un noeud de $S^3$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987) pp. 223-238. doi : 10.5802/aif.1093. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1987__37_2_223_0/

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