Soit un groupe abélien compact métrisable et connexe. On démontre que toute forme linéaire invariante sur , , est continue et donc un multiple scalaire de la mesure de Haar. Ce résultat étend un théorème dû à Meisters et Schmidt (J. Funct. Anal. 13 (1972), 407–424), pour l’espace . En fait la méthode s’applique à n’importe quel treillis invariant superréflexif de fonctions sur , et c’est ce point de vue qu’on adopte. Nous étudions la représentation d’une fonction dans cet espace fonctionnel ( de moyenne nulle) comme somme finie d’éléments pour et où est l’opérateur de translation. Notre approche consiste à borner certaines opérateurs de convolution aléatoires par des méthodes d’interpolation.
It is shown that if is a connected metrizable compact Abelian group and , any (possibly discontinuous) translation invariant linear form on is a scalar multiple of the Haar measure. This result extends the theorem of G.H. Meisters and W.M. Schmidt (J. Funct. Anal. 13 (1972), 407-424) on . Our method permits in fact to consider any superreflexive translation invariant Banach lattice on , which is the adopted point of view. We study the representation of an element of this invariant lattice as a sum of a bounded number of elements of the form , where in , in and the corresponding translation operator. Our approach consists in proving the boundedness of certain random convolution operators using interpolation techniques.
@article{AIF_1986__36_1_97_0,
author = {Bourgain, Jean},
title = {Translation invariant forms on $L^p(G)(1<p<\infty )$},
journal = {Annales de l'Institut Fourier},
volume = {36},
year = {1986},
pages = {97-104},
doi = {10.5802/aif.1039},
mrnumber = {87h:43003},
zbl = {0576.43003},
language = {en},
url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_1986__36_1_97_0}
}