Mesures de Hausdorff et théorie de Perron-Frobenius des matrices non-négatives
Marion, Jacques
Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985), p. 99-125 / Harvested from Numdam
Access to full text
Full (PDF)
Full (DJVU)

Nous étudions des sous-ensembles parfaits de R N dont la structure dépend d’une matrice primitive à coefficients entiers ≥0. La dimension de Hausdorff d’un tel ensemble “fractal” s’exprime en fonction de la valeur propre réelle maximale de sa matrice associée. Nous utilisons le théorème de Perron-Frobenius pour calculer la valeur exacte (qui est finie et non-nulle) de la mesure de Hausdorff de cet ensemble, et nous montrons à quelle condition (géométrique) cette valeur est maximale.

Subsets of R n whose structure depends on a non-negative primitive matrix with integer coefficients are studied. The Hausdroff dimension of such a “fractal” set is expressed in terms of the maximal real eigenvalue of its associated matrix. Using the Perron-Frobenius theorem, the Hausdorff measure (finite and non-zero) of the set is computed, and a (geometric) condition for this value to be maximal is proved.

@article{AIF_1985__35_4_99_0,
     author = {Marion, Jacques},
     title = {Mesures de Hausdorff et th\'eorie de Perron-Frobenius des matrices non-n\'egatives},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     volume = {35},
     year = {1985},
     pages = {99-125},
     doi = {10.5802/aif.1029},
     mrnumber = {87c:28018},
     zbl = {0564.28002},
     language = {fr},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/AIF_1985__35_4_99_0}
}

Marion, Jacques. Mesures de Hausdorff et théorie de Perron-Frobenius des matrices non-négatives. Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) pp. 99-125. doi : 10.5802/aif.1029. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1985__35_4_99_0/

[1] R. B. Ash, Real Analysis and Probability, Academic Press, 1972.

[2] W. L. Ferrar, Convergence, Oxford, 1969.

[3] F. R. Gantmacher, Theory of Matrices, Chelsea, 1959. | Zbl 0085.01001

[4] J. P. Kahane et R. Salem, Ensembles parfaits et séries trigonométriques, Paris, Hermann, 1963. | MR 28 #3279 | Zbl 0112.29304

[5] J. Marion, Mesures de Hausdorff, Université d'Ottawa, 1978.

[6] J. Marion, Calcul de la mesure de Hausdorff des sous-ensembles parfaits isotypiques de Rm, C.R.A.S., Paris, 289, série A (1979), 65-68. | MR 80g:28009 | Zbl 0415.28006

[7] P. A. P. Moran, Proc. Camb. phil. Soc., 42 (1946), 15-23. | Zbl 0063.04088

[8] H. Schneider, Note on the Fundamental Theorem on Irreducible Non-negative Matrices, Proc. Edinburgh Math. Soc., 11 (2) (1958), 127-130. | MR 20 #5789 | Zbl 0085.01104