Action d'une forme réelle d'un groupe de Lie complexe sur les fonctions plurisousharmoniques

Loeb, Jean-Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985), p. 59-97 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $G_{{\bf C}}$ un groupe de Lie complexe et $G_{{\bf R}}$ une forme réelle fermée de $G_{{\bf C}}$. Un couple $(G_{{\bf C}},G_{{\bf R}})$ est dit pseudo-convexe, s’il existe sur $G_{{\bf C}}$ une fonction régulière, strictement p.s.h., invariante par l’action de $G_{{\bf R}}$ et d’exhaustion sur $G_{{\bf C}}/G_{{\bf R}}$. On dit que $G_{{\bf R}}$ est à spectre imaginaire pur, si pour tout $X$ de Lie$(G_{{\bf R}})$, les valeurs propres de ad$\ X$ sont imaginaires pures. Pour $G_{{\bf C}}$ à radical simplement connexe, cette dernière propriété équivaut à la pseudo-convexité de $(G_{{\bf C}},G_{{\bf R}})$. Pour $(G_{{\bf C}},G_{{\bf R}})$ pseudo-convexe et sous une hypothèse de sous-groupe discret, il existe sur tout ouvert invariant $\Omega $ une fonction invariante strictement p.s.h. et d’exhaustion sur $\Omega /G_{{\bf R}}$. Sous les mêmes hypothèses, on a le théorème suivant : “Soit $\Omega $ un ouvert de Stein $G_{{\bf R}}$-invariant de $X\times G_{{\bf C}}$ et à fibre connexe au-dessus de $X$. Sa projection sur $X$ est de Stein, lorsque $X$ est de Stein”. Au chapitre VI, on montre l’inexistence d’une métrique kählérienne invariante sur $G_{{\bf C}}$ lorsque $G_{{\bf R}}$ n’est pas à spectre imaginaire pur. Ce résultat implique l’inexistence d’une métrique kählérienne pour certaines variétés résolubles complexes non compactes.

Abstract

Let $G_{{\bf C}}$ be a complex Lie group and $G_{{\bf R}}$ a closed real form of $G_{{\bf C}}$. By definition, a pair $(G_{{\bf C}},G_{{\bf R}})$ is pseudo-convex, if there exists on $G_{{\bf C}}$ a regular function, strictly p.s.h., invariant by $G_{{\bf R}}$, and exhaustive on $G_{{\bf C}}/G_{{\bf R}}$. By definition, $G_{{\bf R}}$ has a purely imaginary specter, if for all $X$ in $(G_{{\bf R}})$, the eigenvalues of ad$\ X$ are purely imaginary. When $G_{{\bf C}}$ has a simply connected radical, this last property is the same as pseudo-convexity of $(G_{{\bf C}},G_{{\bf R}})$. For $(G_{{\bf C}},G_{{\bf R}})$ pseudo-convex and under a discrete subgroup hypothesis, there exists on an invariant open subset $\Omega $, a strictly p.s.h. invariant function, exhaustive on $\Omega /G_{{\bf R}}$. With the same hypothesis, we have the following theorem: “Let be $\Omega $ a $G_{{\bf R}}$-invariant open subset of de $X\times G_{{\bf C}}$, with connected fibers upon $X$. His protection on $X$ is Stein, when $X$ is Stein”. We prove also the non existence of an invariant kählerian metric on $G_{{\bf C}}$, when the specter of $G_{{\bf R}}$ is not purely imaginary. We deduce the non existence of a kählerian metric on some non compact complex nilmanifolds.

Détail

Publié le : 1985-01-01

MR 87c:32035 | Zbl 0563.32013 | 1 citation dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1028

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