Applications de la notion d'entropie au développement d'un nombre réel dans une base de Pisot

Bertrand-Mathis, Anne

Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985), p. 1-32 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soit $θ$ un nombre de Pisot de degré $s$ ; nous avons montré précédemment que l’endomorphisme du tore $T^{s}$ dont $θ$ est valeur propre est facteur du $θ$ -shift bilatéral par une application continue $q_{s}$ ; nous prouvons ici (théorème 1) que l’application $q_{s}$ conserve l’entropie de toute mesure invariante sur le $θ$ -shift. Ceci permet de définir l’entropie d’un nombre dans la base $θ$ et d’en étudier la stabilité. Nous généralisons également des résultats de Kamae, Rauzy et Bernay.

Let $θ$ be a Pisot number of degree $s$ . We have shown in a previous article that the endomorphism of the torus $T^{s}$ associated to $θ$ is a factor of the $θ$ -shift by a continuous map $q_{s}$ . In theorem 1, we prove that $q_{s}$ preserves the entropy of all invariant measures on the $θ$ -shift. This enables us to define the entropy of a real number expanded in basis $θ$ and to study its properties. Our results generalize those of Kamae, Rauzy and Bernay.

Publié le : 1985-01-01

MR 87b:11072 | Zbl 0564.10053

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1016

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Bertrand-Mathis, Anne. Applications de la notion d'entropie au développement d'un nombre réel dans une base de Pisot. Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) pp. 1-32. doi : 10.5802/aif.1016. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1985__35_3_1_0/

Bibliographie

[1] M. Bernay, La dimension de Hausdorff de l'ensemble des nombres r-déterministes, C.R.A.S., 280 (1975), 539-541. | MR 51 #8064 | Zbl 0294.10039

[2] A. Bertrand, Répartition module un de la suite (xθn)n≥0 et développements en base de Pisot (à paraître). | Zbl 0362.10040

[3] H. Fürstenberg, Disjointness in ergodic Theory, minimal sets and a problem in diophantine approximation, Math. Syst. Th., 1 (1967), 1-50. | MR 35 #4369 | Zbl 0146.28502

[4] Ito-Takahashi, Markov subshifts and realisation of β-expansions, J. Math. Soc. Japan, vol. 26, n° 1 (1974). | Zbl 0269.28006

[5] T. Kamae, Subsequences of normal sequences, Israel J. of Math., 16, 2 (1973), 121-149. | MR 49 #3086 | Zbl 0272.28012

[6] M. Misurewicz, Topological Conditional Entropy, Studia Mathematica, LV (1976), 175-200. | MR 54 #3672 | Zbl 0355.54035

[7] W. Parry, On the β expansions of Real Numbers, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 11 (1960), 401-416. | MR 26 #288 | Zbl 0099.28103

[8] W. Parry, Entropy and Generators in Ergodic Theory, Benjamin, 1969. | MR 41 #7071 | Zbl 0175.34001

[9] Pinsker, Dynamical systems with completely positive an zero entropy, Dok. Akad. Nauk. SSSR, 133 (1960), 1025-1026. | MR 27 #2603 | Zbl 0099.12302

[10] G. Rauzy, Nombres normaux et Processus déterministes, Acta Arithmetica, 29 (1996), 211-225. | MR 53 #7995 | Zbl 0287.10049

[11] Renyi, Representations for real numbers, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 8 (1957), 447-493. | Zbl 0079.08901

[12] M. Smorodinsky, Ergodic Theory, Entropy, Lecture Notes in Mathematics, n° 214 (1971). | MR 54 #10568 | Zbl 0213.07502

[13] P. Walters, Ergodic Theory, Lectures Notes.

[14] F. Hofbauer, B-shifts have unique maximal measure, Monatshefte, 85 (1978), 189-198. | MR 58 #11326 | Zbl 0384.28009