Domaines réguliers du plan

Zinsmeister, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985), p. 49-55 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Un domaine $Ω$ simplement connexe est dit régulier s’il vérifie la condition suivante : il existe $\exists C > 0, \forall z_{0} \in C, \forall r > 0, 𝒦^{1} (\partial Ω \cap {| z - z_{0} | < r}) \leq C r,$ où $ℋ^{1}$ désigne la mesure de Hausdorff 1-dimensionnelle. On appelle $X$ l’ensemble des couples ( $Φ$ , $Ω)$ , où $Ω$ est un domaine régulier, et $Φ$ une représentation conforme de $R_{+}^{2}$ sur $Ω$ . $X_{0}$ est l’ensemble des ( $Φ$ , $Ω)$ appartenant à $X$ tels que $Ω$ soit un domaine de Lavrentiev. On pose

\tilde{𝒟} = {log Φ^{'}; (Φ, Ω) \in X} et \tilde{ℒ} = {L o g Φ^{'}; (Φ, Ω) \in X_{0}} .

Nous montrons que $\tilde{𝒟}$ est inclus dans $B M O A (R_{+}^{2})$ et que $\tilde{ℒ}$ est l’intérieur de $\tilde{𝒟}$ dans cet espace. Nous montrons de plus qu’il existe un point de $\tilde{𝒟}$ qui n’est pas adhérent à $\tilde{ℒ}$ . Ces résultats complètent et généralisent ceux de l’article “Représentation conforme et courbes presque-lipschitziennes” paru dans une précédente édition de cette revue.

A plane simply connected domain $Ω$ is called regular if it satisfies the following condition:

\exists C, \forall z_{0} \in C, \forall r > 0, ℋ^{1} (\partial Ω \cap {| z - z_{0} | < r}) \leq C r,

where $ℋ^{1}$ stands for the one-dimensional Hausdorff measure. Let $X$ be the set of all $(Φ, Ω)$ where $Ω$ is a regular domain and $Φ$ a conformal mapping from $R_{+}^{2}$ onto $Ω$ . $X_{0}$ is the set of all $(Φ, Ω)$ in $X$ with $Ω$ a Lavrentiev domain. Let

\tilde{𝒟} = {log Φ^{'}; (Φ, Ω) \in X} and \tilde{ℒ} = {L o g Φ^{'}; (Φ, Ω) \in X_{0}} .

We prove that $\tilde{𝒟}$ the subset of $B M O A (R_{+}^{2})$ and that $\tilde{ℒ}$ is the interior $\tilde{𝒟}$ in this space. Moreover we prove that $\tilde{𝒟}$ is not contained in the closure of $\tilde{ℒ}$ . These results refine and improve the results of the papar: “Représentation conforme et courbes presque-lipschitziennes” which has appeared in a preceeding issue of this journal.

Publié le : 1985-01-01

MR 86k:30008 | Zbl 0539.30004

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.997

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Zinsmeister, Michel. Domaines réguliers du plan. Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) pp. 49-55. doi : 10.5802/aif.997. http://gdmltest.u-ga.fr/item/AIF_1985__35_1_49_0/

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