Unfoldings of foliations with multiform first integrals

Suwa, Tatsuo

Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983), p. 99-112 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $F=(\omega )$ un feuilletage local de codim 1 engendré par un germe $\omega $ de la forme $\omega =f_1\ldots f_p\sum ^p_{i=1}\lambda _i {df_i\over f_i}$ pour des nombres complexes $\lambda _i$ et des germes $f_i$ de fonctions holomorphes à l’origine dans ${\bf C}^n$. Nous déterminons, sous certaines hypothèses, l’ensemble des classes d’équivalence des déploiements à l’ordre premier et construisons explicitement un des déploiements universels de $F$. En particulier, les feuilletages admettant des intégrales premières holomorphes ou méromorphes sont du type considéré ci-dessus. Nous montrons aussi que la théorie de déploiement pour $F$ est équivalente à celle pour la fonction multiforme $f=f^{\lambda _1}_1\ldots f^{\lambda _p}_p$. Ainsi un déploiement universel de $f$ est aussi donné explicitement.

Abstract

Let $F=(\omega )$ be a codim 1 local foliation generated by a germ $\omega $ of the form $\omega =f_1\ldots f_p\sum ^p_{i=1}\lambda _i {df_i\over f_i}$ for some complex numbers $\lambda _i$ and germs $f_i$ of holomorphic functions at the origin in ${\bf C}^n$. We determine, under some conditions, the set of equivalence classes of first order unfoldings and construct explicitly a universal unfolding of $F$. Special cases of this include foliations with holomorphic or meromorphic first integrals. We also show that the unfolding theory for $F$ is equivalent to the unfolding theory for the multiform function $f=f^{\lambda _1}_1\ldots f^{\lambda _p}_p$. Thus a universal unfolding of $f$ is also given explicity.

Détail

Publié le : 1983-01-01

MR 85h:32035 | Zbl 0504.57013

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.932

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