Invariants d'un sous-groupe unipotent maximal d'un groupe semi-simple

Brion, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983), p. 1-27 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $G$ un groupe algébrique semi-simple complexe, $U$ un sous-groupe unipotent maximal de $G$, $T$ un tore maximal de $G$ normalisant $U$. Si $V$ est un $G$-module rationnel de dimension finie, alors $G$ opère sur l’algèbre ${\bf C}[V]$ des fonctions polynomiales sur $V$; la structure de $G$-module de ${\bf C}[V]$ est décrite par la $T$-algèbre ${\bf C}[V]^U$ des $U$-invariants de ${\bf C}[V]$. Cette algèbre est de type fini et multigraduée (par le degré de ${\bf C}[V]$ et le poids par rapport à $T$). On donne une formule intégrale pour la série de Poincaré de cette algèbre graduée. De plus, on a par exemple, pour presque tout $V$ :

f(z-1=(-1) dim V- dim UZ dim Vf(z),

où $f$ est la série de Poincaré de ${\bf C}[V]^U$ graduée par le degré de ${\bf C}[V]$. On classe les $G$-modules irréductibles $V$ (où $V$ est simple) tels que ${\bf C}[V]^U$ soit régulière ; dans ces $G$-modules, l’adhérence de toute $G$-orbite est à singularités rationnelles. Enfin, on prouve un analogue du critère de Hilbert-Mumford pour les $U$-invariants.

Abstract

Let $G$ be an algebraic complex semi-simple group, with a maximal unipotent subgroup $U$ and a maximal torus $T$ normalizing $U$. If $V$ is a rational finite-dimensional $G$-module, then $G$ acts on the algebra ${\bf C}[V]$ of polynomial functions on $V$, and the $G$-structure of ${\bf C}[V]$ is described by the $T$-algebra ${\bf C}[V]^U$ of $U$-invariant functions. This algebra is finitely generated and multigraded (by the degree of ${\bf C}[V]$ and weight w.r.t. $T$). The Poincaré series of ${\bf C}[V]^U$ for this grading is given by an integral formula and e.g. it happens that for most $V$,

f(z-1=(-1) dim V- dim UZ dim Vf(z),

where $f$ is the Poincaré series of ${\bf C}[V]^U$ graded by the degree of ${\bf C}[V]$. For a simple $G$, the irreducible $G$-modules $V$ such that ${\bf C}[V]^U$ is regular are classified ; in these $G$-modules, every closure of a $G$-orbit has rational singularities. A result similar to the Hilbert-Mumford criterion is also proved for $U$-invariants.

Détail

Publié le : 1983-01-01

MR 85a:14031 | Zbl 0475.14038 | 2 citations dans Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.902

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