Characteristic Cauchy problems and solutions of formal power series

Ouchi, Sunao

Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983), p. 131-176 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $L(z,\partial _z)=(\partial _{z_0})^k-A(z,\partial _z)$ un opérateur linéaire différentiel à coefficients holomorphes, où

A(z,∂z)=∑j=0k-1Aj(z,∂z′)(∂z0)j, ord .A(z,∂z)=m>k

et

z=(z0,z′)∈Cn+1.

On considère le problème de Cauchy aux données holomorphes

L(z,∂z)u(z)=f(z),(∂z0)iu(0,z′)=u^i(z′)(0≤i≤k-1).

On peut facilement obtenir une solution formelle $\hat{u}(z)=\sum ^\infty _{n=0}\hat{u}_n(z^{\prime })(z_0)^n/n!$, mais en général elle diverge. On montre sous certaines conditions que pour un secteur arbitraire $S$ d’ouverture moindre qu’une constante déterminée par $L(z,\partial _z)$, il y a une fonction $u_S(z)$ holomorphe sauf sur $\lbrace z_0=0\rbrace $, telle que $L(z,\partial _z)u_S(z)=f(z)$ et $u_S(z)\sim \hat{u}(z)$ quand $z_0\rightarrow 0$ dans $S$.

Abstract

Let $L(z,\partial _z)=(\partial _{z_0})^k-A(z,\partial _z)$ be a linear partial differential operator with holomorphic coefficients, where

A(z,∂z)=∑j=0k-1Aj(z,∂z′)(∂z0)j, ord .A(z,∂z)=m>k

and

z=(z0,z′)∈Cn+1.

We consider Cauchy problem with holomorphic data

L(z,∂z)u(z)=f(z),(∂z0)iu(0,z′)=u^i(z′)(0≤i≤k-1).

We can easily get a formal solution $\hat{u}(z)=\sum ^\infty _{n=0}\hat{u}_n(z^{\prime })(z_0)^n/n!$, bu in general it diverges. We show under some conditions that for any sector $S$ with the opening less that a constant determined by $L(z,\partial _z)$, there is a function $u_S(z)$ holomorphic except on $\lbrace z_0=0\rbrace $ such that $L(z,\partial _z)u_S(z)=f(z)$ and $u_S(z)\sim \hat{u}(z)$ as $z_0\rightarrow 0$ in $S$.

Détail

Publié le : 1983-01-01

MR 85g:35014 | Zbl 0494.35017

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.907

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