Geometric Fourier analysis

Cordoba, Antonio

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982), p. 215-226 / Harvested from Numdam

Résumé

Dans ce travail nous continuons à étudier la transformée de Fourier sur ${\bf R}^n$, $n\ge 2$, en analysant la “presque-orthogonalité” des différentes directions de l’espace par rapport à la transformée de Fourier. Nous prouvons deux théorèmes. Dans le premier on généralise la théorie de Littlewood-Paley au cas où les angles sont égaux dans ${\bf R}^2$ et nous obtenons des estimations de la norme $L^4$ de la forme $(\log N)^a$, où $N$ est le nombre des directions. Le deuxième est une extension du théorème maximal de Hardy-Littlewood lorsqu’on considère des cylindres de ${\bf R}^n$, $n\ge 2$, avec excentricité fixée et direction dans une courbe donnée.

Abstract

In this paper we continue the study of the Fourier transform on ${\bf R}^n$, $n\ge 2$, analyzing the “almost-orthogonality” of the different directions of the space with respect to the Fourier transform. We prove two theorems: the first is related to an angular Littlewood-Paley square function, and we obtain estimates in terms of powers of $\log (N)$, where $N$ is the number of equal angles considered in ${\bf R}^2$. The second is an extension of the Hardy-Littlewood maximal function when one consider cylinders of ${\bf R}^n$, $n\ge 2$, of fixed eccentricity and direction on a given curve. We obtain sharp estimates for the $L^2$-norm of such operators.

Détail

Publié le : 1982-01-01

MR 84i:42029 | Zbl 0488.42027

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.885

Bibliographie

[1] C. Fefferman, The multiplier problem for the ball, Ann. of Math., 94 (1971). | MR 45 #5661 | Zbl 0234.42009

[2] E.M. Stein and S. Wainger, Problems in harmonic analysis related to curvature, Bull. Amer. Math. Soc., 84 (1978). | MR 80k:42023 | Zbl 0393.42010

[3] P. Tomas, A restriction theorem for the Fourier transform, Bull. Amer. Math. Soc., 81 (1975). | MR 50 #10681 | Zbl 0298.42011

[4] A. Cordoba, The multiplier problem for the polygon, Ann. of Math., 105 (1977). | MR 55 #10943 | Zbl 0361.42005

[5] A. Cordoba and C. Fefferman, A weighted norm inequality for singular integrals, Studia Math., LVII (1976). | MR 54 #8132 | Zbl 0356.44003

[6] S. Wainger, Averages over low dimensional sets, Proc. Symp. in Pure Math., XXV. | Zbl 0627.42006